Wednesday 31 August 2016

《古蘭經》中的數學遺產

今天的誠品日曆介紹的是哈濟生的《伊斯蘭文明這本書,不過,這讓我想到伊斯蘭文明的重要根源《古蘭經》裡面,因為有提到遺產分配的法則,所以後續引發出一些數學問題,剛好可以放部落格分享。



《古蘭經》第四章婦女章裡面,有數節提到遺產分配的問題。列舉如下:

4:7 
男子可獲父母和近戚們遺下的分額。女子可蕕父母和近戚們遺下的分額,無論多少——規定的分額。

4:8 有親屬關係者、孤兒、貧人,臨分到場的時候,你們要贈給他們一些;並對他們說好話。

4:11 安拉為你們的子女囑咐你們!一男獲若二女的分額。她們若是兩個以上的女子了,則獲他遺下的三分之二。若是僅她一人了,則獲半數。他的父母各獲他遺下的六分之一,如果他有子嗣的時候。他若無有子嗣,他的父母繼承他著,他母親獲得三分之一。如果他有弟兄,他母親獲得六分之一。這在用牠作遺囑或還付欠債以後。你們的父和子,你們不知哪是在利益上最近於你們的——由安拉規定的。安拉實是深知的,明哲的。

4:12 你們獲得妻室所遺的半數,若是她們無有子嗣的時候。如果她們有子嗣了,你們就獲得她們所遺的四分之一,在她們用牠作遺囑或還欠以後。她們獲得你們所遺的四分之一,若是你們無有子嗣的時候。如果你們有子嗣了,她們就獲得你們所遺的八分之一;在你們用牠作遺囑或還欠以後。如果被繼承的男子或女子,是一個上無父母,下無兒女的,在他有一弟(兄)或一姊(妹)他倆各獲所遺的六分之一。如果他們是多過這個的,他們就於三分之一上共同。這在用牠作遺囑或還欠以後,不得有妨害。安拉的囑告。安拉是深知的、仁厚的。

大家一定看得眼花撩亂。根據普遍接受的解釋,取重點來說:
(1) 財產遺可以贈予陌生人,但遺贈所得原則上不超過全部遺產的1/3為原則。

(2) 在扣除陌生人所得的遺產後,若死者留下未亡人與子女,則配偶可得遺產1/4,剩餘的3/4由兒子和女兒以2比1的比例分配。
(3) 當遇到兒子向父親借貸的情形,在分配上,這個兒子最差的情況就是拿不到遺產,即是以所得遺產與借貸的錢數抵銷,並不需向其他繼承人償還不足的金額。

這些原則就可以引出許多問題,被中世紀的數學家當成例題放在他們的著作中。比如在阿爾•花拉子模 (Al-Khowarizmi) 的著作中,有下面的問題:

一位婦女過世,留下丈夫、兒子和三個女兒,計算每一位繼承人各能分得的資產部分。

解答:丈夫取得 1/4,其餘 3/4 由兒子與三女以 2:1:1:1 來分配。子女的部分既然要分5部份 (2+1+1+1),而父親取1/4,4與5的公倍數是20,所以丈夫得5/20,兒子取6/20,每個女兒分得3/20。

這題計算並不困難,大家也可以用簡單的代數做計算。另一個比較有趣的問題如下:

有一人過世,身後留下二子,並且要把資本的1/3遺贈給一位陌生人。而他共留下了10金幣以及對於其中一子10金幣的要求(即其中有一子欠父親10金幣)。


這題用現代數學來看有幾種不同的解法,各有巧妙不同。其中一種解法是這樣想。正常來說,兩個兒子與陌生人可以各得父親遺產的1/3,但是其中一子對父親的債務佔父親資產的一半,所以他的債務必然多於應得遺產。但是根據 (3),他只需要還出能與他所得遺產抵銷的金額即可,不用再多還給其他繼承父親債權的人。所以,我們假設欠錢的兒子要還 x 金幣,所以父親能夠分配的遺產是 (10 + x) 金幣,每個人得到1/3,所以欠錢的兒子也得到這麼多,兩相抵銷。因此得到方程式 
(10 x) * 1/3 = x
解方程式得 x = 5。

我第一次看到這個解法的時候也覺得很神奇,但這個問題的解釋方法不只一種。各位讀者可以自己想想看,順便體會伊斯蘭文明的風貌。

參考資料:蘇意雯 (2008) ,[可蘭經裡的遺產-代數學],《當數學遇見文化》(臺北:三民書局)。

Tuesday 23 August 2016

邏輯學者寫出毫無邏輯的作品?

2016年8月23日的誠品日曆,向讀者介紹愛麗絲夢遊仙境》這本書。這本書大概是少數全世界家喻戶曉的英國兒童文學作品,或者,用現代的分類來說,也可以看成「奇幻文學」。可是你知道嗎?這本書的作者Lewis Carroll(原名Charles Lutwidge Dodgson, 1832-1898),其實是職業數學家與邏輯學者!


Charles L. Dodgson 早年在拉格比公學(Rugby School,也就是「橄欖球」[Rugby football] 的發源地)學習,後來進入牛津大學基督堂學院(Christ Church, Oxford)就讀,畢業後生涯的大部分時間,他都在母校基督堂學院擔任數學講師,並在任職期間寫出愛麗絲夢遊仙境。Dodgson 的數學研究觸及幾何、線性代數與數理邏輯等等。根據維基百科的介紹,Dodgson 的符號邏輯研究在1990年代還被幾位數學家引用做出新的成果。我自己當然是不太懂數理邏輯,不過我曾無意間在臺灣師大的圖書館讀到一本 Dodgson 寫的小書:《歐幾里德與他的現代對手》(Euclid and His Modern Rivals)。這本書中比較了歐幾里德《幾何原本》跟19世紀時其他許多套幾何教材,而且是用對話錄的形式寫出。Dodgson 基本的論點就是,19世紀所有的幾何教科書,不是比歐幾里德差,不然就是跟歐幾里德的教材有相同的功能。事實上,英國的中學到20世紀中葉,仍然使用歐幾里德作為幾何教材。多年前我到劍橋訪問研究,有幸跟科學史大師 G.E.R. Lloyd 聊過兩、三次。他曾問我臺灣的中學還用歐幾里德教幾何嗎?因為他讀中學的時候(就是二戰前後)還是用歐幾里德學幾何。臺灣的中學教材從來都不是用歐幾里德教幾何,二十世紀時大部分的國家也都不再直接用《幾何原本》當中學數學或大學通識教材,但是我竟然能夠親眼見到一位還活著的人是用歐幾里德學中學幾何,也是一種感動。


誠品日曆的作者,在評論愛麗絲夢遊仙境》時,認為這本書接近孩童所認知的真實,因為它「毫無邏輯」!如果我們回想這本書的內容,誠品日曆的評論也不無道理。但是想到作者其實也是一位邏輯學者,這則評論就顯得十分有趣。或許,Dodgson 對數理邏輯的理解與研究,恰恰幫助他寫出看似沒有邏輯,卻又真實呈現孩童內在想像的一本暢銷書吧!