Monday 27 March 2017

那種歐幾里德告訴我們的完美

28是個完美的數字,因為它等於其自身以外所有正因數1、2、4、7與14之和。


歐幾里德《幾何原本卷九命題三十六是這樣寫的:「如果從單位開始,連續不斷地加倍,直到各項之和為質數,並將此總和與最後一項相乘,則此乘積為完美數。」所謂「完美數」(perfect number, τέλειος ἀριθμός),在《幾何原本》卷七定義22有寫到,「完美數即等於自身部分之和的數」,用現代語言說明,就是如果有一個數剛好等於自身之外所有正因數之和,這個數就是「完美」。比如說,6除了自身之外的正因數有1、2、3,而且6=1+2+3,所以6就是一個完美數。歐幾里德《幾何原本》卷七至卷九討論的是整數的理論包含因數、倍數、質數、合數、數列與級數等等的理論。他在第七卷定義完美數之後,在這三卷的最後一個命題,也就是上述卷九命題三十六,證明了一個關於完美數的漂亮結果,作為總結這三卷數論的最高潮。下面我們用兩個例子來說明這個命題的意義。

首先,我們從1開始,加倍到2,此時數列有1、2兩項,且1+2=3為質數,那麼3乘上剛剛最後一項的2得到6,那麼6就是個完美數,前一段已經驗證。

接著看下一例。我們一樣從1開始,加倍到2,再加倍到4,此時數列有1、2、4三項,且1+2+4=7剛好也是質數,則7乘上數列最後一項4得到28,那麼28也是完美數。我們可以驗證看看。28除自身之外的所有正因數有1、2、4、7與14,且1+2+4+7+14=28,所以28是完美數!

歐幾里德在兩千三百年前證明了上面的命題,而在十八世紀,大數學家歐拉證明了這個命題的逆命題,也就是如果一個偶數是完美數,則這個數必然可以從歐幾里德的造法而得。讀者如果想要知道它們的證明,可以參考這裡

完美數的尋找並不容易,因這牽涉到大質數的判定。人類所知的前五個完美數為6、28、496、8128、33550336。第十個完美數等於2^88(2^89 - 1)。所有偶完美數的問題理論上已經解決,然而是否存在奇完美數,仍是數論上的開放問題,還有待數學家去挑戰。

Wednesday 8 March 2017

以色列驚艷世界!?聊聊世界棒球經典賽 (World Baseball Classic) 選手徵召規則

第四屆世界棒球經典賽於2017年三月盛大開幕。初次參賽的以色列代表隊,在開幕戰以2:1打敗韓國,次日又以15:7大勝臺灣。很多人問為什麼以色列這匹黑馬這麼強悍,其實這是得利於經典賽的選手徵召規則。


根據世界棒球經典賽的規則書,可受世界棒壘球聯盟(WBSC)成員國徵召代表比賽的球員國籍規定十分寬鬆,除了該國公民之外,具有該國居留權,或者在該國出生的球員都可接受徵召。這還不打緊,規則還開放只要球員父母其中一人為該國公民或者能提出在該國出生的證明,該名球員即可接受該國徵召。這些規則其實是為了要增加經典賽的可看性,因為在棒球的世界,幾個強國與大多數弱國實力相差懸殊,不若足球界,有數十個實力接近的國家,可以造就全世界最盛大的單項體育賽事 - 世界杯足球賽。讓部分美國選手幫其他國家效力,有助整體比賽精彩程度。

這次以色列的代表隊,被戲稱為美國隊,因為該隊大多數球員其實都是美國人,只是因為父母其中一人為以色列裔,即可接受徵召。這次以色列的代表隊,陣中有多名具有大聯盟資歷的選手,加上小聯盟現役選手的等級也頗高,實力頗為堅強,打敗韓國與臺灣,絕非僥倖。

以色列在國防與外交政策上,與美國保守派政治勢力關係緊密。在棒球比賽場上,以色列也靠美國撐腰,筆者看起來亦為一種黑色幽默。歐、非兩洲與以色列到北美的移民,發展十分多元,但是亞洲移民到北美大多希望後代讀好書或做生意,鮮少鼓勵小孩朝體育界發展。因此經典賽的這項美意,對於臺灣、韓國、日本這幾個亞洲國家完全沒有幫助,臺灣代表隊都是正港的臺灣人。未來東亞國家是否要合力讓這個限制變得較為嚴格,就要看我們能否互相合作。當然,要跟外國合作,首先臺灣的體育界先要進行改革,棒協的問題,還有棒協與職棒聯盟之間的不愉快,都是迫切需要解決的難題。最重要的是,技不如人不能只怪規則,而應該調整臺灣棒球的體質,增強自己的實力。

Sunday 5 March 2017

三重縣四日市神明神社算額

日本各地有許多神社或寺廟收藏了江戶時代算學家奉納的算額,上面有很多有趣的算題。所謂算額,就是江戶時代的算學家奉獻給神社或寺廟,發表算學研究成果的匾額。也有人認為是算學塾的廣告。2016年三月,我到三重縣四日市市參與國際會議,順道到四日市市川島町內看當地的算額。下圖是寺廟內的文化財告示牌。


根據這個告示牌,神社內有三面算額,最古老的是1790年奉納,內容有三題,第一題是武田濟美所著闡微算法》(1750)中的題目。武田濟美是入江脩敬(1699-1773)的弟子,而入江脩敬則是和算最大流派關流弟子中根元圭(1662-1733)的門人。入江脩敬也曾被著名的和算大名久留米藩主有馬賴徸招聘為儒臣。下圖是1790年奉納的算額,上面的字跡已經不清楚。


上圖算額的摹寫如下圖。可以看到,第二、三題是菱形與句股形內接數個圓的問題。這兩題都需要重複使用畢氏定理解題。


第二面算額是1844年奉納,問題是正方形內切若干個不同大小的圓,已知最大圓與最小圓徑,求圓個數。下面兩張照片是算額與其摹寫。



第三面算額是1863年奉納,問題是若干個圓互相內外切,已知其中某些圓的直徑,求所有圓的個數。



上面這些算額都是當地人奉納的算額,算額原件不公開展示,但摹寫都掛在門廊。如果大家有機會到這個觀光客不太造訪的小城市,不妨也可以到這間神社觀賞算額。


參考資料

和算の館

入江脩敬 

城地茂 (2014),《和算の再発見: 東洋で生まれたもう一つの数学》,(京都:化学同人)。