大韓帝國正宮：德壽宮

德壽宮是首爾五大古宮之中規模最小的。朝鮮在16世紀末遭到日本侵略後，正宮景福宮被焚燬，後來德壽宮在16世紀末到17世紀初很短暫的時間，曾經是朝鮮國王的居所。1896年清日戰爭結束後，朝鮮從清帝國獨立，旋即成為日本與俄羅斯勢力競逐之地。1896年，反日派的閔妃被日本浪人暗殺之後，朝鮮高宗逃難到俄羅斯使館，一年後因為各國壓力離開。高宗離開後選擇的居所，是地點接近歐美各國使館的德壽宮。1897年，朝鮮改國號為「大韓帝國」，宣示自己是與大清帝國及大日本帝國同樣地位的獨立帝國，而德壽宮內的中和殿就是大韓皇帝的正殿。德壽宮內還有數座西式建築，用以接待外賓。

2008年到首爾參加研討會，是我第一次被國外邀請參加的會議。沒錢的學生突然有人自己說出機票住宿讓你出國，當然很高興。也因為會議安排的住宿時間有限，所以不會有太多空檔在大學以外的地方見學。我記得我當時應該只有個半天還是一天的時間到漢江北邊去看看，所以只去了景福宮和德壽宮。那個研討會是 STS 的學生研討會，很感謝 STS 的朋友沒有把我們做科學史的人當外人，我才有機會去首爾。

對了，2008年很特別，11月下旬韓國就降下初雪，那是我人生第一次看到雪。

朝鮮王朝正宮：景福宮

2008年11月我第一次到韓國，是去參加首爾大學舉辦的EASTS學生研討會。那次是我首度見到金永植教授，也受到林宗台老師很多指導。當時一起去參加的臺灣研究生還有人後來成為中研院研究員。利用會議空檔，我也到首爾市區走走，景福宮當然是必訪景點。景福宮從1395年開始做為朝鮮國王的居所與處理政務的王宮，1592年日本侵略時燒毀，到1868年才又重建恢復正宮地位。

順便一提，俗稱桃園大廟的桃園景福宮，是從19世紀初開始桃園十五街庄的信仰中心，我老家就在那附近，小時候跟同學約見面的常用地點。雖然跟首爾景福宮一點關係都沒有，但看到名稱我就有莫名的親切感。

西方文明中的歐幾里德

過去四十年來，所有在台灣完成義務教育的人，一定在國中課本中讀過兩樣東西：其一，歷史課本中提到希臘科學的代表作 – 歐幾里得 (Euclid) 的《幾何原本》(Elements) –，其二，數學課本裡的平面幾何與邏輯推理。大部分的中學教師可能會告訴學生，國中的平面幾何就是來自歐幾里得的作品，這是未來學習更高深科學不可或缺的工具。中國清初數學家梅文鼎也說：「言西學者，以幾何為第一義。」然而，我們大多數亞洲人不一定能感覺到的，是歐幾里得《幾何原本》對所謂「西方文明」產生的巨大影響。本文希望從《幾何原本》的內容與背景出發，加上幾個例子，來說明西方文明裡無所不在的歐幾里得。

《幾何原本》約於公元前300年寫成，但故事緣起於更早的時代。從公元前六世紀初，第一位有紀錄的自然哲學家泰利斯 (Thales) 開始，許多古希臘人就開始嘗試尋找在自然表象背後的統一理性解釋。泰利斯與其他哲學家對幾何想法背後統一性的追尋，使得他們去探索邏輯方法，讓他們能從某些幾何敘述，推導出其他敘述。那些敘述是眾所週知的，但是，將這些敘述以邏輯連結的過程，就是從某些比較基本的論述證明較為複雜的論述，則是一種相當難可貴的創新。 

除了對理解自然所做的追求工作之外，古希臘社會中也逐漸認同邏輯推理的必要性。從約公元前500年起，雅典的就發展出了一種大多數男性自由公民都能直接參與的政治制度，政治菁英要推行政策，需要在公民大會中取得公民的同意，而對公民闡述理念，則需要辯證與修辭。雅典的司法制度，從公元前五世紀中葉起，也出現了由隨機選出的公民所組成的陪審團。由於當時並未有現代的刑事鑑識科學，可以提供DNA或指紋證據，所以，具有說服力的演說，就是法律程序中最的重要元素。

此外，古希臘幾乎沒有如中國戰國時代的「養士之風」，或是歐洲文藝復興時期，封建領主「贊助」科學家研究之風氣，因此，哲學家等學者必須獨立謀生。古希臘社會對學習辯證與修辭的需要，讓各個不同學派的哲學家，包括被污名化的「詭辯學派」(sophists)，都能夠以講學來謀生。這些不同的學派如何招攬比別人多的學生呢？很（不）簡單，他們必須在著作或公開辯論中打敗持相反意見的人，證明自己的學說才是最正確的，而這也需要很好的邏輯及其訓練才能做到。

公元前四世紀下半葉，馬其頓的亞歷山大征服了希臘半島、埃及，以及西亞，歐洲與西亞歷史進入史家所稱的「希臘化時代」。亞歷山大死後，控制埃及的托勒密 (Ptolemy) 王國對於蒐羅知識與智者，有特別的興趣。他們在尼羅河出海口的亞歷山卓 (Alexandria) 建立了「大圖書館」與「謬思女神的殿堂」（Museum, 即今日英文「博物館」的字源），支持各種知識的保存與部分學者的研究。歐幾里得就是在當時的亞歷山大擔任教師，寫下了《幾何原本》。

希臘人對自然哲學 (natural philosophy) 與邏輯的追求，到了歐幾里得的時代，已累積了很多知識。當時，已經發展出了很多數學，而且幾乎所有都與幾何或數論有關。畢氏學派的研究已經進行了兩個世紀，而其他人也寫下了他們的數學發現。柏拉圖的哲學與亞里斯多德的方法論（含邏輯）已有深厚的基礎，所以，學者們知道數學「事實」必須以推理說明其正當性。許多數學的結果可以被更基礎的想法所證明。但是，即使那些證明也毫無組織，每個證明都從自己的假設出發，而沒有考慮與其他證明的一致性。

奠基於前人的工作，歐幾里得組織了過去希臘數學家的成果，並且將之延拓。他的目的，似乎是要將希臘數學建築於統一的邏輯基礎之上，而這件事情也呼應古希臘社會對邏輯的需要。歐幾里得「從根做起」，重建了希臘數學。他的《幾何原本》，正是一部百科全書式的著作。

整部《幾何原本》分為十三卷，共465個「命題」（propositions，現在我們可稱之為「定理」），而每一個定理都是由它之前的敘述所證出。每個命題的敘述之後是相關圖形，再來是詳細的證明。每個證明的結尾是一句「此即所欲證的」。這句話的拉丁譯文為「quod erat demonstrandum」，這就是證明結尾常見縮寫「QED」的由來。另一方面，《幾何原本》也包括了很多有關尺規作圖的命題，其中除了證明作圖可行之外，當然必須先描述作圖程序，而拉丁文的作圖完畢，就稱為「quod erat faciendum」，縮寫為「QEF」。

如同亞里斯多德所指出的，邏輯系統必須建立於幾個我們認為理所當然的假設之上。所以，在給出23條名詞定義之後，歐幾里得提出了十個基本假設，然後，嘗試利用精心設計的證明，從定義基本假設推導出其餘的幾何知識。 

《幾何原本》卷一的十個基本的假設如下：
1. 等於相同量的量彼此相等。
2. 等量加等量，其和仍相等。
3. 等量減等量，其差仍相等。
4. 彼此能重合的物體是相等的。
5. 全體大於部分。
6. 由任意一點到任意一點可畫直線。
7. 一條有限直線可以繼續延長。
8. 以任意點為圓心及任意距離可以畫圓。
9. 凡直角都相等。
10. 一條直線與另外兩條直線相交，若某一側的兩個內角和小於兩直角，則這兩條直線不斷延長後在這一側相交。

以現代術語來說，這十條起點敘述是歐式平面幾何的「公設」（axiom）。前五條是關於量（在英文版中，「量」對應了 “thing”）的一般敘述，適用於所有的演繹科學 (deductive sciences)，因此，在本書中，它們被稱為「公理」(common notions)。至於第二組的五條，則是特別關於幾何的敘述，在被稱為「設準」的這一組公設前頭，出現了極易被忽視的一句話，那就是：讓下列被假設成立 (Let the following be postulated)，可見，歐幾里得早已注意到幾何學迥異於其他演繹科學之獨特性，而這正是非歐幾何學發展的契機之一。不過，這是後話，我們在此暫時不表。無論如何，按歐幾里得的觀點，這十條敘述直覺上是不證自明的 (self-evident)。換句話說，任何知道敘述中每個字意義的人，都會相信這些敘述。

從這個簡單的開頭 – 23條定義與10條明顯成立的敘述 – 歐幾里得建造了整個平面幾何的理論。而且從他的時代開始，《幾何原本》就被世人奉為學習幾何與邏輯推理的圭臬。


歐幾里得的著作，其重要性之所以歷久彌新，不只是在於它提供了大量的數學知識，更重要的是，它教你如何思考。《幾何原本》從不證自明的敘述出發，利用邏輯，一步一步建造複雜的理論，其中每一部份都堅固地附加在已經被建造完成的地方。如此得到的事實，被認為具有「確定性」(certainty)。的確，從歷史的角度來看，數學的知識也似乎是確定的，兩千多年前被證明的畢氏定理，現在仍然「正確」（只要你同意歐幾里得的公設），但是，古希臘的物理學、生物學、醫學等科學，與現代的科學就有很大的不同。

由於《幾何原本》所展現的方法帶來確定性，所以，兩千年來，許多人物都以這種的方法為標準，試圖建立自己學說的確定性。以下，我們簡短地舉幾個著名的例子，以顯示歐幾里得的作品如何形塑並應用於西方思想的許多面向。

阿基米德 (Archimedes)：阿基米德（前287？ – 前212）在數學上有許多偉大的貢獻，包含證明圓面積、球體積等。而他在物理學上最有名的貢獻之一，則是槓桿原理，他「證明」了這個原理，不是靠做實驗，而是用歐幾里得的方法，從例如「等重之物在相同距離處達到平衡」這類的公設出發，利用邏輯推導得到的結果。當然，阿基米德對邏輯方法的重視，不見得只是受到《幾何原本》的影響，也是受到古希臘哲學家，特別是亞里斯多德學說的影響。

史賓諾莎 (Baruch de Spinoza) 的《倫理學》(Ethics)：史賓諾莎 (1632 – 1677) 是位荷蘭哲學家。他的《倫理學》完全依照《幾何原本》的體例，在每一章的開頭有數條定義與公設，接著，是這一章的命題，每個命題之下有證明。在第一章〈論上帝〉(Of God) 中，有例如「實體，吾人理解為處於自身之內，且透過自身而被認識之物」的定義（好比《幾何原本》第一卷定義一：點，為無部分之物）；有例如「一切事物，若不能透過它物而被認識，就必透過自身而被認識」的公設。還有如「具有無窮多屬性之上帝，或實體，……必然存在」這樣的命題，使用歐氏幾何的形式，希望「證明」上帝的存在，證明結尾還寫上QED。

牛頓：牛頓 (1642 – 1727) 將他的三大運動定律也稱為「公設」。他的《自然哲學的數學原理》(Philosophiae Naturalis Principia Mathematica) 也仿照《幾何原本》的結構。奠基於三大運動定律與重力，他的宇宙系統是以數學的形式呈現於世人面前。牛頓物理學的成功，大大增強了一種觀點，就是「數學是科學的恰當語言」。此外，藉著他的宇宙數學模型，牛頓也大力鼓吹從設計上看出上帝存在的說法。太陽系的數學完美性 – 行星都以橢圓軌跡行進，且在同一平面上公轉 – 不太可能是隨機產生的結果，而是「一個強大存在所思量與主宰之後的結果」。這類不從天啟出發，而強調從哲學與觀察自然來說明上帝存在的「自然神學」 (theologia naturalis)，自然十分倚重數學與理性。

美國獨立宣言：美國的獨立宣言 (Declaration of Independence, 1776) 是另一個十分有名的例子。在簡短的序文之後，這份文件提出了幾個「不證自明的真理」：「凡人皆生而平等，秉造物者之賜，擁諸無可轉讓之權利，包含生命權、自由權、與追尋幸福之權」。而且，如果任何政府不遵守這些公設，「則人民有權改組或棄絕之，並另立新政府」。在中段的開頭，他們說要「證明」大不列顛國王喬治三世並未遵守那些公設。最終的結論是：「所以，我等……鄭重發表與宣告，團結之諸殖民地為，亦有權是，自由獨立之國家」。在這份文件中，作者們企圖以歐幾里得方法得到的確定性，來說服世人，他們不是反抗國王的叛亂份子，反之，他們在獨立這件事上是具有充分正當性的。

由以上幾個例子，我們可以知道，歐幾里得的方法，是西方文化中極為重要的一環。《幾何原本》的內容，也一直是古代西方與現代世界學習數學與科學的重要依據。然而，《幾何原本》的內容本身十分形式化，相當枯燥乏味，而且完全沒有任何引起學習動機的過程。在上個世紀末的台灣，中學的數學為了要更吸引學生，為了要把每個學生都帶上來，教學內容更強調「發現」數學知識，所以，許多形式化的內容，都被改為探索與發現之事實，最後，再學習一點點證明的方法。這樣立意良善的課程，受限於時間，加上國中基本學力測驗無法設計證明題，使得在國中幾何課程中，邏輯證明對師生而言，似乎都變成比較次要的學習。

這樣的結果十分令人遺憾的。因為，正如美國數學史家葛賓娜 (Judith Grabiner) 所說，我們教數學，不只是教數量推理，不只是教一種科學語言，更重要的是，經由對歐氏幾何的學習，學生去認識在西方思想佔有中心地位的數學，進而增加我們對人類文明的理解！筆者同意，這樣的理想的確不容易達成，但是，如果我們完全不教學生邏輯與證明，從來也不在數學或歷史課堂討論《幾何原本》，那麼，我們的學生所學到的幾何知識仍然是沒有知識結構系統的，而且，學生也無法感受到數學知識對人類文明的重要性，更失去一個瞭解西方文明的機會！所以，筆者認為，學習演繹推理方法，至少是與學習數學知識本身是一樣重要的，而且，我們若不認識西方文明中的歐幾里得，大概就難以理解「西方」本身了！

參考資料
1. Berlinghoff, William P. & Fernando Q. Gouvêa（洪萬生、英家銘暨HPM團隊譯）(2008)，《溫柔數學史：從古埃及到超級電腦》。台北：博雅書屋。
2. Grabiner, Judith V. (1988). “The Centrality of Mathematics in the History of Western Thought”, Mathematics Magazine (61)4, pp.220 – 230.
3. Heath, Thomas L. (1956). Euclid: Thirteen Books of The Elements. New York: Dover Publications, INC.
4. Lloyd, Geoffrey & Nathan Sivin (2002). The Way and the Word. Science and Medicine in Early China and Greece. New Haven: Yale University Press.
5. Martin, Thomas R. (2000). Ancient Greece. From Prehistoric to Hellenistic Times. New Haven: Yale University Press.
6. Wild, John (Ed.) (1930). Spinoza Selections. New York: Charles Scribner’s Sons.

(原文發表於《科學月刊》2008年3月號)