博士の愛した数式

本週的誠品日曆介紹小川洋子的作品《凍結的香氣》。這本書我不熟，但小川洋子的另一本小說《博士熱愛的算式》，倒是在臺灣頗負盛名，因為這是一本很「好看」的數學小說。

《博士熱愛的算式》日文原版

數年前洪萬生老師送我這本小說，我就馬上拿來讀了。數學小說有很多種類型，包含歷史故事、懸疑推理、浪漫愛情等等。但這本小說很特別，我覺得很難把它放到任何一個類別裡。故事是一位因為車禍而只能維持80分鐘記憶的數學家、他的管家，以及管家的兒子三個人之間的故事，網路上有許多書評，我就不再重複這個故事。

我很喜歡這個故事的原因，是因為這個故事很...平凡。故事讀起來很溫暖，從數學到棒球與人生，許多細微的連接，幾乎靜止的時間，每天三餐、管家上班，小孩上學，回家吃飯、聊天，就是這些故事，平凡但不乏味，聊數學但不冰冷。我不知道該如何形容，總之，博士、管家與小孩，熱愛的不只是數學，更重要的是三個人之間平凡的生活與情誼。

這部小說很受歡迎，所以也拍成電影。

《博士熱愛的算式》中文版DVD

（圖片來源：https://www.books.com.tw/products/D020036865）

我其實不常讀小說，特別是純文學的小說，但小川洋子的小說，或許會是例外。誠品日曆上《凍結的香氣》放入考慮書單好了。

侘・寂

好，我真的不是很懂「侘・寂」（Wabi-Sabi）這種日本獨特的美學。事實上，我不太敢說我具有太多美學素養，特別是在充滿中華民國美學的環境下潛移默化長大的情況下。不過這幾年，跑了幾趟日本，感覺到這個國家真的不是只有守秩序跟乾淨這些優點而已。日本的建築物與名勝到處都充滿一種我說不出來的感覺。後來我讀到「侘・寂」的概念之後，漸漸覺得這就是那種我說不出來的感覺，比如欣賞銀閣寺的感覺。

銀閣寺一景

每年10-12月通常都是我相對忙碌的月份，所以看到誠品日曆這本介紹「侘・寂」概念的書，就忍不住寫一篇心得。這本書用絹布當成書皮，邊緣還脫線牽絲，嘗試從裝幀開始體現「侘・寂」。稍微查一下，這本書似乎是西方世界最早介紹這種日本獨特美學的專書之一，後來被很多人引用。講到這裡，我還是沒有說明什麼是「侘・寂」，因為我實在講不太出來。這種美學帶有一種低調、安靜、質樸，而且是有缺陷的感覺。但我這樣講當然也只是講出我感受的一部份而已，完全無法定義這種美學。

對我來說，回憶或欣賞「侘・寂」的美學，好像是忙碌的生活中的一種逃脫。下面再放一張掛川城二之丸茶室的冬日景色，繼續感受「侘・寂」。

掛川城二之丸茶室冬日景色

《S.》與鬼才 J. J. Abrams

快兩年沒寫誠品日曆，本來打算下週復出，但今天恰巧遇上誠品桃園店重新開幕，剛好來買這本很特別的《S.》，作者是鬼才導演與製作人 J. J. Abrams。

J. J. Abrams 在宅男界頗負盛名，因為他把幾乎要消失在地球上的星艦電影系列重新救回來。不過，他的作品中我個人最喜歡的，是《Lost》。這部影集從2004年播映至2010年，共六季，故事開始時一架從雪梨飛往洛杉磯的班機，因為不明原因在南太平洋墜毀於荒島上，機上有數十人奇蹟似地生還。就從這些人迷失在島上開始，故事中發生了一連串無法解釋的神秘事件。《Lost》整部影集給觀眾一種很厚重的神秘感，每一集都似乎有一些進展，但又帶來更多謎題。故事到最後一季的最後一集，都還有非常多的謎團沒有解開，但最後一幕的劇情急轉直下。本來我看了五年半的影集，都以為我在看科幻片，但最後一幕...真是超級燒腦。這套影集陪我度過博士班的五年，而且在我博士論文集即將完成的時候播放結局，所以我印象深刻。這部影集真的很好看，看完我相信你會佩服 J. J. Abrams 的創意。

圖片來源：www.gadgetreview.com

今年的誠品日曆主題是裝幀設計，說實在我完全沒概念，所以今年也一直遲遲無法寫關於誠品日曆的評論。但是下週的誠品日曆就介紹到了 J. J. Abrams 寫的書，讓我眼睛一亮，很想要買來讀看看。

《S.》有多特別呢？我來講沒有什麼說服力，請看吳念真旁白的介紹。

小時候我讀過一種冒險故事書，劇情每一兩頁就會有一個讀者需要做的判斷。不同的判斷會指引到不同的頁數，一本書可能有數十種支線，所以每次讀會有不同的結局。這本《S.》比我小時候讀過的那種書可能更有趣，而且還有手寫的筆跡。它不見得會比《Lost》好看，但我相信我應該會同樣感受到大量的神秘以及創意元素！

此孫子非彼孫子

《孫子兵法》人類歷史上最古老的兵學著作之一，對後世影響深遠。除了兵學之外，這本書對博奕與體育競技的策略上都有影響。東亞諸國日常生活中許多諺語與成語，也是來自這本書。今天的誠品日曆，建議大家再去品味這不對我們的文化影響深遠的著作。《孫子兵法》被認為是公元前六世紀末的吳國人孫武所著，所以書名上的「孫子」應該就是指孫武。

不過，在東亞歷史上，還有另一位「孫子」，寫下了一本書叫做《孫子算經》。我第一次看到這本書的時候，直覺就想到，這本書的作者，會不會跟《孫子兵法》的作者是同一人呢？畢竟，懂軍事的人，可能也要懂一點數學，才能「運籌帷幄之中，決勝於千里之外」（這句話出自《史記·高祖本紀》，形容的是張良，「運籌」就是用算籌進行計算）。當然，我這樣的直覺並沒有根據。從書中的內容來看，算題中出現「佛書」還有「棊局方一十九道」的用語，不可能是在公元前六世紀成書，因為佛教在公元一世紀後才傳入東亞，且 19x19 的圍棋也是魏晉之後才有的規格。學者根據書中的內容，大多將這本書的年代定在公元四至五世紀左右。所以，這本書的作者不可能是孫武。只不過，歷史與考古學上找不到任何紀錄，告訴我們作者是誰。我們只知道他應該生活在南北朝的年代。

從這本書的內容來看，很多是基礎的算術方法，也有稍微複雜的面積與體積問題，後者可能超越先秦算學的發展，但都包含於漢代成書的《九章算術》之中。不過，這本書有兩個影響深遠的算題，在漢、魏之前的算學著作不曾出現。第一個算題是有名的「雞兔同籠」問題，大家在小學都做過。《孫子算經》的思路基本上跟大家在小學的算術思維一樣。原書題目是說：「今有雉、兔同籠，上有三十五頭，下九十四足。問雉、兔各幾何？」假設籠中全部都是雞，94足就是47隻雞，但籠中僅有35隻動物，少了12隻。兩隻雞的腳的數目等於一隻兔的腳的數目。所以，每少一隻動物，就等於用兩隻雞換一隻兔子，少了12隻動物就表示有12隻兔子。確定兔子數量之後，我們就得到雞有35 - 12 = 23隻。這個問題在後來許多的算書中出現，成為基本算術的重要練習題。這個問題傳到日本之後，就變成了有名的「龜鶴算」。

《孫子算經》中另一個名題，就是「物不知數」問題，本質上是一次同餘方程組問題。很多朋友在中學都時候就做過「韓信點兵」的問題，本質上就與此題相同。這個算題是人類歷史上首度出現一次同餘方程式與其解法。雖然「中國剩餘定理」、一次同餘方程組的一般解法與證明，都要等到很晚才出現，但這個題目跟它的解法的出現，仍然有重要的時代意義。下面是《孫子算經》現存最早的宋版書影，圖中有「物不知數」的問題與解法。

上面的內容都不是我研究的結果。我只是把一些資料整理一下。有興趣的朋友可以去搜尋 Lam Lay Yong、錢寶琮、郭書春等學者的著作。

《古蘭經》中的數學遺產

今天的誠品日曆介紹的是哈濟生的《伊斯蘭文明》這本書，不過，這讓我想到伊斯蘭文明的重要根源《古蘭經》裡面，因為有提到遺產分配的法則，所以後續引發出一些數學問題，剛好可以放部落格分享。

《古蘭經》第四章婦女章裡面，有數節提到遺產分配的問題。列舉如下：

4:7 男子可獲父母和近戚們遺下的分額。女子可蕕父母和近戚們遺下的分額，無論多少——規定的分額。

4:8 有親屬關係者、孤兒、貧人，臨分到場的時候，你們要贈給他們一些；並對他們說好話。

4:11 安拉為你們的子女囑咐你們！一男獲若二女的分額。她們若是兩個以上的女子了，則獲他遺下的三分之二。若是僅她一人了，則獲半數。他的父母各獲他遺下的六分之一，如果他有子嗣的時候。他若無有子嗣，他的父母繼承他著，他母親獲得三分之一。如果他有弟兄，他母親獲得六分之一。這在用牠作遺囑或還付欠債以後。你們的父和子，你們不知哪是在利益上最近於你們的——由安拉規定的。安拉實是深知的，明哲的。

4:12 你們獲得妻室所遺的半數，若是她們無有子嗣的時候。如果她們有子嗣了，你們就獲得她們所遺的四分之一，在她們用牠作遺囑或還欠以後。她們獲得你們所遺的四分之一，若是你們無有子嗣的時候。如果你們有子嗣了，她們就獲得你們所遺的八分之一；在你們用牠作遺囑或還欠以後。如果被繼承的男子或女子，是一個上無父母，下無兒女的，在他有一弟（兄）或一姊（妹）他倆各獲所遺的六分之一。如果他們是多過這個的，他們就於三分之一上共同。這在用牠作遺囑或還欠以後，不得有妨害。安拉的囑告。安拉是深知的、仁厚的。

大家一定看得眼花撩亂。根據普遍接受的解釋，取重點來說：
(1) 財產遺可以贈予陌生人，但遺贈所得原則上不超過全部遺產的1/3為原則。
(2) 在扣除陌生人所得的遺產後，若死者留下未亡人與子女，則配偶可得遺產1/4，剩餘的3/4由兒子和女兒以2比1的比例分配。
(3) 當遇到兒子向父親借貸的情形，在分配上，這個兒子最差的情況就是拿不到遺產，即是以所得遺產與借貸的錢數抵銷，並不需向其他繼承人償還不足的金額。

這些原則就可以引出許多問題，被中世紀的數學家當成例題放在他們的著作中。比如在阿爾•花拉子模 (Al-Khowarizmi) 的著作中，有下面的問題：

一位婦女過世，留下丈夫、兒子和三個女兒，計算每一位繼承人各能分得的資產部分。

解答：丈夫取得 1/4，其餘 3/4 由兒子與三女以 2:1:1:1 來分配。子女的部分既然要分5部份 (2+1+1+1)，而父親取1/4，4與5的公倍數是20，所以丈夫得5/20，兒子取6/20，每個女兒分得3/20。

這題計算並不困難，大家也可以用簡單的代數做計算。另一個比較有趣的問題如下：

有一人過世，身後留下二子，並且要把資本的1/3遺贈給一位陌生人。而他共留下了10金幣以及對於其中一子10金幣的要求（即其中有一子欠父親10金幣）。

這題用現代數學來看有幾種不同的解法，各有巧妙不同。其中一種解法是這樣想。正常來說，兩個兒子與陌生人可以各得父親遺產的1/3，但是其中一子對父親的債務佔父親資產的一半，所以他的債務必然多於應得遺產。但是根據 (3)，他只需要還出能與他所得遺產抵銷的金額即可，不用再多還給其他繼承父親債權的人。所以，我們假設欠錢的兒子要還 x 金幣，所以父親能夠分配的遺產是 (10 + x) 金幣，每個人得到1/3，所以欠錢的兒子也得到這麼多，兩相抵銷。因此得到方程式 

(10 + x) * 1/3 = x

解方程式得 x = 5。

我第一次看到這個解法的時候也覺得很神奇，但這個問題的解釋方法不只一種。各位讀者可以自己想想看，順便體會伊斯蘭文明的風貌。

參考資料：蘇意雯 (2008) ，［可蘭經裡的遺產－代數學］，《當數學遇見文化》（臺北：三民書局）。

邏輯學者寫出毫無邏輯的作品？

2016年8月23日的誠品日曆，向讀者介紹《愛麗絲夢遊仙境》這本書。這本書大概是少數全世界家喻戶曉的英國兒童文學作品，或者，用現代的分類來說，也可以看成「奇幻文學」。可是你知道嗎？這本書的作者Lewis Carroll（原名Charles Lutwidge Dodgson, 1832-1898），其實是職業數學家與邏輯學者！

Charles L. Dodgson 早年在拉格比公學（Rugby School，也就是「橄欖球」[Rugby football] 的發源地）學習，後來進入牛津大學基督堂學院（Christ Church, Oxford）就讀，畢業後生涯的大部分時間，他都在母校基督堂學院擔任數學講師，並在任職期間寫出《愛麗絲夢遊仙境》。Dodgson 的數學研究觸及幾何、線性代數與數理邏輯等等。根據維基百科的介紹，Dodgson 的符號邏輯研究在1990年代還被幾位數學家引用做出新的成果。我自己當然是不太懂數理邏輯，不過我曾無意間在臺灣師大的圖書館讀到一本 Dodgson 寫的小書：《歐幾里德與他的現代對手》（Euclid and His Modern Rivals）。這本書中比較了歐幾里德《幾何原本》跟19世紀時其他許多套幾何教材，而且是用對話錄的形式寫出。Dodgson 基本的論點就是，19世紀所有的幾何教科書，不是比歐幾里德差，不然就是跟歐幾里德的教材有相同的功能。事實上，英國的中學到20世紀中葉，仍然使用歐幾里德作為幾何教材。多年前我到劍橋訪問研究，有幸跟科學史大師 G.E.R. Lloyd 聊過兩、三次。他曾問我臺灣的中學還用歐幾里德教幾何嗎？因為他讀中學的時候（就是二戰前後）還是用歐幾里德學幾何。臺灣的中學教材從來都不是用歐幾里德教幾何，二十世紀時大部分的國家也都不再直接用《幾何原本》當中學數學或大學通識教材，但是我竟然能夠親眼見到一位還活著的人是用歐幾里德學中學幾何，也是一種感動。

誠品日曆的作者，在評論《愛麗絲夢遊仙境》時，認為這本書接近孩童所認知的真實，因為它「毫無邏輯」！如果我們回想這本書的內容，誠品日曆的評論也不無道理。但是想到作者其實也是一位邏輯學者，這則評論就顯得十分有趣。或許，Dodgson 對數理邏輯的理解與研究，恰恰幫助他寫出看似沒有邏輯，卻又真實呈現孩童內在想像的一本暢銷書吧！

大崩壞

一年多沒有寫誠品日曆的文章，今日復出。誠品書局每年以不同主題推出閱讀日曆，前年的主軸是歷史上的今天，對我來說是書寫部落格的謬思。去年的主軸不太適合我。今年主題似乎是文學。大致翻了一下，有幾天稍微可以做點聯想，就繼續來借題發揮。

今天（1月12日）的主題是隆納∙萊特寫的《失控的進步》。我沒有看過這本書，但從日曆上的引文來看，或許是一本文學與社會批判價值頗高的書。引文提到復活節島（我小時候都叫成復活島XD）的居民為求「進步」，把所有的樹都砍光利用，最後也造成文明的滅絕。這使我想到數年前讀過賈德∙戴蒙寫的《大崩壞》一書，裡面寫的也是許多古代與現代文明面臨困境最後滅絕或轉型成功的例子。我一直是賈德∙戴蒙的書迷，因為他從自然環境的條件與變遷來解釋人類社會的命運，非常有說服力。他最成功的書當然是《槍砲、病菌與鋼鐵》，這是我看過最好看的科普書（沒有之一，就是最好）。賈德∙戴蒙常會被社會學家批評過於信仰「環境決定論」(environmental determinism)，亦即人類文明的發展主要受到自然環境的影響，而非人類社會本身的努力與聰明才智。我是覺得戴蒙沒有那麼環境決定論，只是他比較強調環境跟人類本身對人類社會的影響一樣巨大。活在東亞國家的我們，習慣於傳統的歷史書寫，常認為領導者的才能與德性是社會發展好壞的決定性因素。戴蒙的書正好給我們另一個角度的思考，就是有時候是非戰之罪，人類可以很聰明或很努力，但是大環境（地形、動植物物種、氣候變遷等）的也會影響社會文化的發展（朝代更迭、國家強弱、科技發展等）。

《大崩壞》這本書裡講到一個文明崩壞可能有五種原因：人類對生態環境的破壞、氣候變化、強鄰威脅、鄰近社會的支持變弱，以及社會面對問題的應變力。戴蒙舉出了數個面對困境失敗與成功的案例。成功的案例如江戶時代的日本，面對戰國時代大肆對環境破壞之後，幕府對森林的復育政策就是這個社會面對自然資源減少時的成功案例。失敗的個案，最有名的當然就是復活節島。

孤懸於東南太平洋的復活節島，從公元900年左右波里尼西亞人移居至此，就很類似一個遺世獨立的社會。這個社會建造了許多「摩埃」石像 (moai)，以及放置摩埃像的大型石造平台「阿胡」(ahu)。大家都在照片中看過這些雄偉的摩埃像，他們的重量可從數十噸到數百噸之譜。阿胡由石牆與碎石組成，重量可能上千噸。無怪乎有人幻想這是外星人的傑作。要建造這麼大的石像與基座，需要很多人力資源，所以島上必然曾經有眾多的人口與足夠的自然資源。石像大多在公元1000年到1600年之間建起，而且越後期越巨大，表示島上的十一至十二個部落競相打造最大的雕像，如同今日的土豪炫富。

打造石像需要從採石場運送巨石與碎石，需要成本的不只是很多工人要吃的糧食，同時也需要很又粗又長的繩索，才能讓五十至五百個人拖拉重達數十公噸的雕像，還要很多粗大的樹木做成木蹺、舟梯與橫桿。所以島上居民必須大量砍伐樹木。由於過渡濫墾樹木與捕捉鳥類，等到十八世紀歐洲人來到這個島嶼的時候，島上已經沒有任何一棵植物高於三公尺，也沒有本土禽鳥。小說家筆下的「最後一棵樹」，從考古證據來看可能是1500年左右倒下的。當整座森林消失之後，雕像的搬運與建造自然停止，居民也沒有什麼野生動物可以補食，沒有木柴可以生火取暖，土壤被雨水與風侵蝕，出現飢荒與人口遽減，人吃人的慘劇不斷發生。文明崩壞的厄運就來了。

今天的引文有一點可能說錯，那就是在森林消失之後，那些石像並不會「更受島民崇愛」，只因為「石雕令他們覺得自己並不孤獨」。戴蒙提出的場景可能更為合理，就是自然資源枯竭之後，用宏偉建築物所代表，那些酋長與祭司承諾給人民的豐收與富足一再落空，老百姓被迫用人肉果腹之時，社會秩序崩解，島民便親手把這些石像推倒。事實上，十八世紀歐洲人到復活節島上所見，大部分的石像都是傾倒的。

戴蒙與萊特都用復活節島當例子，因為現今的地球與復活節島很像。地球孤懸於太陽系中，沒有其他星球可以提供資源，而我們在努力「進步」的同時不斷破壞自然環境。那我們會不會步上復活節島文明的後塵呢？

元帝國與高麗的數學交流

元帝國征服韓半島上的高麗之後，將之視為藩屬，並且在元帝國欲征伐日本時以高麗國的軍民為其馬前卒，帶給高麗人民極大的痛苦。不過，對於後來的高麗來說，他們也被迫或自願地從元帝國學習到了當時較為進步的科技文明。兩國之間在數學上也有交流。

文藝復興時代的數學與禮物交換

文藝復興時代，除了帶給人類許多輝煌燦爛的藝術作品，當時的學者在科學與數學上，也有很多突破。比如伽利略的貢獻，可參閱拙文 伽利略的禮物交換。

說到禮物交換，這是文藝復興時代科學發展的面貌之一。下面關於數學家社會地位與禮物交換的故事，可以讓讀者瞭解這個有趣的社會行為。（原文發表於《當數學遇見文化》一書，本網誌摘錄部分內容）。

在十五世紀末期至十六世紀的義大利，數學從業人員的社會階層可大致分為三類。第一類是簿記員、土地測量技師和工程石匠，他們從計算師傅那裡學習到數學並將之應用。這些屬於「計算文化」的數學從業人員社會地位，遠低於第二類的占星醫學士。他們在大學接受過博雅教育 (liberal arts) 與醫學院的訓練，學習內容除了我們現代人觀念中的醫學之外，還包含了幾何學與占星學。他們是社會中的菁英份子。在大學任教的占星家經常會被要求編集城鎮的年度天宮圖，這是城鎮中的大事。至於第一類的基礎算術的教師，則時常被雇用為城鎮的公務測量員。所以，在當時，所謂「地上的」以及「天上的」數學從業人員之間的社會專業地位，存在著相當大的差距。第三類數學從業人員，是宮廷數學家。套句流行用語，他們是「金字塔頂端」的數學家。十六世紀專制主義在義大利半島大幅盛行，封建領主被賦予幾乎絕對的權力。因此，被封建領主封為廷臣的數學家或科學家，不但待遇優渥，而且他們所提出的學說也會被認為是權威。換言之，他們可以說是菁英中的菁英。

既然當時的數學從業人員之間，有著巨大的社會地位差距，所以，地位的提升對他們必然有極大的誘因。但是，地位的提升從古至今都不是一件簡單的事，而當時的數學從業人員提升社會地位的方法，常常是透過禮物交換以尋求贊助。

在文藝復興時代的歐洲，想成為一位有社會地位的科學家或數學家，除了要有機會受到良好教育，還要設法得到崇高的專業地位，這常常就需要有贊助者的支持。在新科學獲得近代科學社群的社會組織（譬如1662年成立的倫敦皇家學會）的支持之前，皇室或統治者對科學家與數學家的贊助，是支持學術研究的一股重要力量。運用「禮物交換」的手段，以換取得到贊助的機會，或是被引薦至社會地位更高的工作，是當時的科學與數學從業人員經常使用的方法。送禮與回禮，是一個社群的成員取得或保持地位和權力的過程。送禮對一位尋求贊助的人，是最好的投資，因為贊助者必須要根據自己的地位（而不是送禮者的地位）來回禮。我們這裡所說的「禮物」，通常不是與財富相關的物品，而常常是一些創新發明或發現。一個科學家或數學家的專業可信度，與他的社會地位相關，而提高社會地位的重要手段，則主要是透過禮物交換。下面，我們就要從這樣的脈絡來看三次方程式的歷史公案。

1582年世界的變動

1582年，在日本發生了「本能寺之變」，明智光秀背叛織田信長，最後間接促成羽柴秀吉（後來的豐臣秀吉）統一天下。本能寺之變改變了日本戰國時代末期的天下大勢，影響當然是很巨大。

不過，這一年世界各地還發生了很多與科學有關，影響或許更深遠的大事。

六月四日

1615年6月4日，德川秀忠火燒大坂城。這件事對忠於豐臣家的人，還有當時住在大坂城下町的居民，或許是慘事，但對這個地球上大部分的人而言，這只是日本列島權力更迭過程的一小部分。

但是，1989年的六月四日，有個令全體世人憤怒的事件，或許更適合記錄在誠品日曆上，搞不好還可以讓誠品賣更多關於中國政治與歷史的書。

誠品，你忘了六四嗎？還是你認為，台灣人對六四的關注低於德川幕府？

公共圖書館

我一直覺得公共圖書館是個很棒的地方, 因為它提供社會大眾一個免費獲取知識的來源. 但是, 在20世紀之前就出現的公共圖書館, 就是很神奇的地方.

龐卡黑的非歐幾何模型

昂利·龐卡黑 (Jules Henri Poincaré, 1854 - 1912)，是近代少數在數學各領域有全面貢獻的數學家。他的姓名在台灣常被譯為「亨利·龐加萊」，但我猜上面的譯法比較接近法文的發音。

龐卡黑的貢獻太多，我挑一個我上課比較會提到的來分享。其一是關於非歐幾何的模型。眾所周知，歐氏幾何的第五設準（其等價條件被稱為「平行公設」，大致是在平面上過線外一點恰可作一條平行線），因為作為基本假設十分突兀，所以歷史上許多學者都想「證明」它但沒有成功。19世紀初，高斯等人以第五設準的否定作為假設，建構出自我相容的非歐幾何世界，從而間接說明當年歐幾理德將第五設準作為基本假設的正當性。也把康德的對時間與空間的論述給予重擊。從非歐幾何建構出來的一些美麗新世界，有很多歐氏幾何難以想像的性質。比如，克萊因 (Felix Klein) 與龐卡黑都曾經提出過一些表面上在歐氏幾何中是有限的空間，但經過適當的距離與點線面定義，可以變成符合非歐幾何的「無限」空間。龐卡黑甚至加入一些物理定律的設計，使得空間中的居住者會認為他們空間是「無限的」。

又來聊明帝國 - 崇禛帝與21世紀的台灣

明崇禛帝因為是亡國之君，在大眾文化裏的形象通常是很負面。很多政治評論者甚至把21世紀的某位台灣總統比喻為崇禛，崇禛帝的負面形象可見一斑。其實我對崇禛沒有什麼研究，但我知道他在位時做的曆法改革影響世人至今。

在他們身上，數學與物理相遇

1827年4月23日，愛爾蘭學者哈密頓 (William Rowan Hamilton, 1805-1865) 發表光學理論論文 "Theory of Systems of Rays". 其實我之前對這位學者沒有什麼研究，只在讀數學的時候看過幾次他的姓。他除了是物理學家，也是很重要的數學家，看維基百科之後，還發現他在歐語之外還通波斯語、梵語、阿拉伯語及馬來語等。因為我個人對語言也很有興趣，所以越發崇拜這個人。

日本人與國民黨, 台灣在乎誰?

南京大屠殺, 哪些人的責任比較大, 我真的不清楚, 要請對二戰歷史比較熟的朋友指教. 不過, 日本在二戰前與二戰時, 對台灣, 中國, 韓國與印尼等國家的人民造成的痛苦, 應該是舉世公認的. 包含慰安婦在內, 各種戰爭罪行的補償, 道歉, 悔罪等行為, 亞洲各國仍然覺得日本人做得不夠. 相較於歐洲與德國來說, 亞洲各國與日本似乎從沒有真正從二戰的陰影中走出來.

台灣人常常被韓國人與中國人認為過度親日, 不過終戰之後, 日本對台灣頗為友善也是事實. 我偶爾也在想, 大多數台灣人為什麼不會像韓國人一樣強力要求日本的道歉與賠償呢? 這兩天我突然想通. 如果多數台灣人對父親年代經過的白色恐怖, 都不強力要求國民黨全面進行轉型正義的工程, 那麼對於阿公與阿祖年代的日人惡行, 當然就不在乎啦!

到台灣落地生根的老伯伯們過得好嗎?

據說1954年4月11日是史上最無聊的一日，我覺得會去做這種統計的人也很無聊。用網路找了一下這一天台灣有沒有什麼大事，結果海峽兩岸的網頁用不同的話語寫下那天發生的同一件事：

康熙與數學

3月瘋棒球，沒有用日曆閒聊。4月4日的誠品日曆讓我想到兩件事可以分享，一件是康熙帝，另一件是人頭稅。1712年除了有「永不加賦」這件事，另一件事也影響深遠，就是《數理精蘊》開始編輯。

滿人在1644年入關，取代明成為中原的統治者。一般認為，清政府政權長期穩固的原因在於能安撫並有效控制漢族士大夫，乾隆朝編纂《四庫全書》與大興文字獄的懷柔與高壓兩手策略是最常被提到的手段。事實上，康熙朝天文曆算與著作的編纂與地理測繪的實行，也是帝國控制的手段之一。對於入關不久的滿族（即漢人眼中的「蠻族」）而言，如何能像古代聖王一般控制天（天文曆法）、地（地理測繪）、人（士大夫的忠誠），是康熙帝不可避免的重要課題，而此時耶穌會傳教士所帶來的西方科學與數學，正好變成康熙帝實行帝國控制的利器。

康熙初年，由楊光先所挑起的反教案，阻礙耶穌會苦心經營的傳教事業。這場因曆法更動而起的「曆獄」，後因比利時耶穌會士南懷仁 (Ferdinand Verbiest) 憑藉著正確的天文觀測而平反。在此事件中，康熙本人很受震動，認為天文官的無能會損害天子提供人民正確曆法的義務，進而影響新皇朝的統治基礎。這是康熙希望學習西學的起源。康熙年輕時，主要由南懷仁講授西方科學。1685年，比利時耶穌會士安多 (Antoine Thomas) 應召入京，亦向康熙進講。1688年，法國耶穌會士白晉(Joachim Bouvet)、張誠 (Jean-François Gerbillon) 等人到達北京後，康熙學習西方科學的熱情更濃。學習西方科學之後，康熙本人也常展現出在天文與地理測量上之事實仲裁者的角色，藉以確保官方知識的正確性，與帝國官員的忠誠（因為他們無法在技術細節上欺騙皇帝）。

康熙帝對西方科學的熱情，也展現在他對數學的興趣之上。1690年初，張誠、白晉用滿語進講歐氏幾何，用的滿文與漢文講義是根據法國耶穌會士巴蒂 (Ignace-Gaston Pardies) 的 Elémens de Géométrie 改寫而成。康熙本人也向安多學習了歐洲代數「借根方算法」。但康熙與歐洲傳教士的蜜月期，在18世紀初結束。1705 – 1711年，因為天主教的「禮儀之爭」，以及部分傳教士對天文表的藏私，加深了康熙對在朝廷與宮中任職之傳教士的不信任感，並且萌生念頭，認為他的帝國有必要擁有獨立的科學知識，以擺脫對傳教士的依賴。

1712至1713年間，康熙命在暢春圓蒙養齋開「算學館」編修《律曆淵源》，包含《數理精蘊》（算學）、《曆象考成》（曆法）、《律呂正義》（音律）三部分，由皇三子誠親王胤祉、數學家何國宗與梅瑴成主持編修事宜。當時應召在蒙養齋編書的學者在百人以上。《數理精蘊》最終在1723年，康熙死後次年刊行，整體上來說是一部融合當時所知的中國與歐洲數學的作品。這本書主導了18世紀初至19世紀中葉的東亞數學發展，原因之一是它被當作官方正典 (Canon)。當時東亞各國的數學家幾乎都是從這本書出發，學習算學，並以此為基礎之一進行研究創新。

頁面上說的「永不加賦」，查了清史稿，確有其事。網路上胡亂搜尋一下也有學者的討論，認為後來造成清國財政的問題。不過，這裡指的「永不加賦」，看網路上的討論，似乎是指「人頭稅」，也就是按人頭徵稅，而不是田賦或勞役。田賦與勞役當然還是會依照需求調整，只是每戶需要交的人頭稅，不會因人口增加而增加。

人頭稅這件事情有不少有趣的面相可以討論。我手邊的文獻比較多的是西漢的資料。西漢的人丁稅稱為「筭」或「算賦」。西漢於公元前203年時開始實行算賦，「民年十五以上至五十六出賦錢，人一百二十為一算，為治庫兵車馬」。

人頭稅這種稅制是否合理，有很多討論。但是古代國家也常常用這種稅賦來鼓勵或勸退某些行為。比如漢代的算賦。正常情形為每人出一筭，但是「賈人與奴婢倍筭」，也就是說，商人必須交付雙倍的人頭稅，畜養奴僕的家庭也必須為這些奴僕交出雙倍的算賦。很明顯地，西漢在政策上不鼓勵商業與蓄奴。

另外，為了增加人口，西漢政府提倡早婚。有些資料上看到的是，女子15歲以上未嫁，每三年算賦加一倍，最多到30歲增到五倍。這使得未婚女性成為家庭沈重的負擔，可以想見老百姓會快快把女兒嫁掉。台灣這幾年少子化，有人突發奇想要徵單身稅。其實22個世紀前就有過這種事。30歲不結婚要交五倍的稅，真是可怕…

數學史上的張衡

剛剛看到友人的臉書，想起今天是紀念韓國獨立運動的「三一節」。不過誠品日曆寫的是張衡。我是不太知道，張衡測到地震的日子從東漢太初曆換算成現代陽曆是不是三月一日，不過他的名字讓我想起算學典籍中的張衡。

張衡是二世紀的天文學家。在東亞古代，天文學者通常也是算學知識的保存者與創造者。東漢的張衡當然也懂算學，我們從小就聽過候風地動儀，但對張衡的數學成就一無所知。三世紀的劉徽在注解《九章算術》時曾引用過「張衡算」，但不知實際出處為何。就像亞里斯多德引用前蘇格拉底哲學家時一樣，是從批評的角度出發，劉徽引張衡其實是要批他一頓。那一段是關於球體積公式與圓周率的論證。圓周率對所有古文明來說是無法迴避的麻煩，《聖經》的〔列王記上〕與〔歷代志下〕都有提到所羅門聖殿中的「銅海」為「徑十肘，圍三十肘」。東亞古代也有「周三徑一」的估計。

根據《九章算術》劉徽注的說法，張衡巧妙地加入一些近似值去討論球與其內接外切正方體體積，並且劉徽暗示張衡可能已經知道「兩球體積之比等於與其外切正方體體積之比」這樣的洞見。不過最後張衡得到的圓周率是「十之面」，也就是根號10，約為3.16。這個二世紀的近似值看在三世紀劉徽的眼中已經太過不準確，劉徽引張衡完全就是要襯托自己的對圓周率估計的正確。我個人覺得，張衡那段話的有趣之處在於他如何定出計算過程中的近似值使計算變得容易，還有他討論球與外切正方體的關係。

零錢的回憶

1971年2月15日, 英國貨幣改為十進制, 1 鎊兌換 100 便士.

這個讓我想起在英國的時候, 每天口袋總是一堆零錢. 印象中英國的硬幣有7種, 後來一查竟然有8種, 面額分別是1便士、2便士、5便士、10便士、20便士、50便士、1鎊、2鎊 (1鎊 = 100便士). 我實在不太能理解要用這麼多種不同面額硬幣的必要性. 我記得每天中午吃飯的時候, 就是把皮夾裏的一堆硬幣拿出來, 慢慢尋找各種銅板湊成午餐錢結帳. 也是有趣的回憶.