龐卡黑的非歐幾何模型

昂利·龐卡黑 (Jules Henri Poincaré, 1854 - 1912)，是近代少數在數學各領域有全面貢獻的數學家。他的姓名在台灣常被譯為「亨利·龐加萊」，但我猜上面的譯法比較接近法文的發音。

龐卡黑的貢獻太多，我挑一個我上課比較會提到的來分享。其一是關於非歐幾何的模型。眾所周知，歐氏幾何的第五設準（其等價條件被稱為「平行公設」，大致是在平面上過線外一點恰可作一條平行線），因為作為基本假設十分突兀，所以歷史上許多學者都想「證明」它但沒有成功。19世紀初，高斯等人以第五設準的否定作為假設，建構出自我相容的非歐幾何世界，從而間接說明當年歐幾理德將第五設準作為基本假設的正當性。也把康德的對時間與空間的論述給予重擊。從非歐幾何建構出來的一些美麗新世界，有很多歐氏幾何難以想像的性質。比如，克萊因 (Felix Klein) 與龐卡黑都曾經提出過一些表面上在歐氏幾何中是有限的空間，但經過適當的距離與點線面定義，可以變成符合非歐幾何的「無限」空間。龐卡黑甚至加入一些物理定律的設計，使得空間中的居住者會認為他們空間是「無限的」。

龐卡黑的物理模型說明如下。想像一個從外面看來形如圓盤的世界。在這個世界中我們加上如下的物理定律：

(1) 圓盤上任何點 P 的絕對溫度 T = k (R2 – r2)，其中 k 為固定常數，R 為圓盤半徑，r 為點 P 到圓盤中心的距離。

(2) 所有物體的大小（線性維度）與其所在地點的絕對溫度成正比。

(3) 任何物體在移動後溫度會立即轉變成當地的溫度。

這樣一來，在這個世界中居住的居民，很可能無法觀察到這些物理定律。而且無論朝任何方向行走，都無法到達邊界。於是，他們會認為世界是無限大的。

所以，這個世界的居民認為宇宙是無限大的，但從這個世界之外來看，他們的空間其實可能很有限。這個模型真是可以讓我們凡夫俗子有太多的宗教遐想。