教師節隨想

不，我沒有要抱怨教師節沒放假。

昨天9月28日是臺灣的教師節，各地並舉行祭孔大典。東北亞的韓國，春秋兩季也固定會在成均館與各地鄉校進行釋奠大祭。圖一的畫作，來自《宋人書畫孝經冊》第一開，繪孔子居中講學，曾子長跪問孝。這兩週版主收到一堆哏圖，其中一個就是用這張圖，然後配上字幕，學生說：「老師您教的都是沒用的東西！」然後老師說：「我不許你這樣說自己！」

圖一：孔子講學圖（圖片來源：https://theme.npm.edu.tw/exh106/Confucius/ch/page-2.html?fbclid=IwAR3iEV2hPb5pGiS29CNngk1u1OOZIcwnJzl1pxdsrgKLam1ot5zfy2Iq98M#main）

孔、孟、老、莊、墨，和同時代的蘇格拉底、柏拉圖、亞里斯多德等等，都是人類文明重要的哲學家，他們的思想到今天都影響著我們，但我們也沒有每年盛大祭祀比如墨子這位版主個人很欣賞的思想家。這件事情讓版主想到之前在醫學大學經典閱讀課程，帶學生讀東亞算學經典《九章算術》的事情。《九章算術》曾經是唐帝國、新羅與日本奈良時代科舉考試的科目之一，是東亞歷史上最具影響力的算學著作之一。

《九章算術》第三章「衰分」講到的是比較複雜的比例分配，比如第一題講到

「今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共獵得五鹿。欲以爵次分之，問各得幾何？」

這題是說有五位爵位不同的貴族，要用5:4:3:2:1的比例，分配他們打獵得到的五隻鹿。這個問題一般的國中生都可以輕易解決，最後的答案是

「答曰：大夫得一鹿、三分鹿之二。不更得一鹿、三分鹿之一。簪褭得一鹿。上造得三分鹿之二。公士得三分鹿之一。」

所以五隻鹿至少有兩隻無法活著跟貴族回家。這個問題很簡單，但我們繼續往下看到第三題，就有趣了。如圖二，這一題是說

「今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共出百錢。欲令高爵出少，以次漸多，問各幾何？」

這裡要講的是反比的概念，五位貴族要以 1/5 : 1/4 : 1/3 : 1/2 : 1 的比例分配他們要出的錢。靠，分鹿的時候爵位高的分比較多，出錢的時候就「高爵出少」，真是太神奇了～

圖二：《九章算術》第三章「衰分」第三題

很多古代數學的文本都會有資源分配的問題，在這些問題裡面我們可以看到像上面那樣有趣的現象。不同的社會對於「公平」的概念有不同的想法，這時我就會借用一位社會學家同事的PPT來講一些社會階級跟資源分配的問題。

這跟祭孔有什麼關係呢？古代社會以那樣的方式運作有其道理，版主在此不深入討論，但是世襲官位這種事情在21世紀的臺灣還存在，那就神奇了。原來在中華民國的體制之下，還有「大成至聖先師奉祀官」這個位置，由孔子的嫡系子孫繼承。

目前的大成至聖先師奉祀官是孔子第七十九代嫡長孫孔垂長。這個官職是從2008年才改成無給職。在臺灣民主化之前，這個官職還有官府，甚至前代奉祀官孔德成的次子孔維寧還在1966年那個大學擠破頭的年代可以保送臺大，因為他考不上。版主小學的時候，雖然已是80年代，家中的長輩還會把這件事情拿來說笑。

儒家學說的確是影響臺灣文化很重要的元素之一，但來自東亞大陸的文化裡面還有很多其他重要的元素。我們活在21世紀的臺灣，當然也可以跟韓國一樣把祭孔當成一個重要的文化活動傳承下去，但是在政府裡面保有一個世襲官職，是要代表某種「道統」的傳承嗎？

儒家六藝為「禮、樂、射、御、書、數」。雖然我們不知道先秦儒家或孔子本人到底懂多少數學，但「六藝」的說法為東亞過去兩千年對算學有興趣的文人提供某種研究上的正當性，這點版主是欣賞儒家的。但是在21世紀的臺灣，祭孔最多是一種文化活動，而非任何政府正當性的來源，至於大成至聖先師奉祀官，這個官職不知道有幾個臺灣人覺得有意義？重要的不是孔子的後人，是哲學。

此孫子非彼孫子

《孫子兵法》人類歷史上最古老的兵學著作之一，對後世影響深遠。除了兵學之外，這本書對博奕與體育競技的策略上都有影響。東亞諸國日常生活中許多諺語與成語，也是來自這本書。今天的誠品日曆，建議大家再去品味這不對我們的文化影響深遠的著作。《孫子兵法》被認為是公元前六世紀末的吳國人孫武所著，所以書名上的「孫子」應該就是指孫武。

不過，在東亞歷史上，還有另一位「孫子」，寫下了一本書叫做《孫子算經》。我第一次看到這本書的時候，直覺就想到，這本書的作者，會不會跟《孫子兵法》的作者是同一人呢？畢竟，懂軍事的人，可能也要懂一點數學，才能「運籌帷幄之中，決勝於千里之外」（這句話出自《史記·高祖本紀》，形容的是張良，「運籌」就是用算籌進行計算）。當然，我這樣的直覺並沒有根據。從書中的內容來看，算題中出現「佛書」還有「棊局方一十九道」的用語，不可能是在公元前六世紀成書，因為佛教在公元一世紀後才傳入東亞，且 19x19 的圍棋也是魏晉之後才有的規格。學者根據書中的內容，大多將這本書的年代定在公元四至五世紀左右。所以，這本書的作者不可能是孫武。只不過，歷史與考古學上找不到任何紀錄，告訴我們作者是誰。我們只知道他應該生活在南北朝的年代。

從這本書的內容來看，很多是基礎的算術方法，也有稍微複雜的面積與體積問題，後者可能超越先秦算學的發展，但都包含於漢代成書的《九章算術》之中。不過，這本書有兩個影響深遠的算題，在漢、魏之前的算學著作不曾出現。第一個算題是有名的「雞兔同籠」問題，大家在小學都做過。《孫子算經》的思路基本上跟大家在小學的算術思維一樣。原書題目是說：「今有雉、兔同籠，上有三十五頭，下九十四足。問雉、兔各幾何？」假設籠中全部都是雞，94足就是47隻雞，但籠中僅有35隻動物，少了12隻。兩隻雞的腳的數目等於一隻兔的腳的數目。所以，每少一隻動物，就等於用兩隻雞換一隻兔子，少了12隻動物就表示有12隻兔子。確定兔子數量之後，我們就得到雞有35 - 12 = 23隻。這個問題在後來許多的算書中出現，成為基本算術的重要練習題。這個問題傳到日本之後，就變成了有名的「龜鶴算」。

《孫子算經》中另一個名題，就是「物不知數」問題，本質上是一次同餘方程組問題。很多朋友在中學都時候就做過「韓信點兵」的問題，本質上就與此題相同。這個算題是人類歷史上首度出現一次同餘方程式與其解法。雖然「中國剩餘定理」、一次同餘方程組的一般解法與證明，都要等到很晚才出現，但這個題目跟它的解法的出現，仍然有重要的時代意義。下面是《孫子算經》現存最早的宋版書影，圖中有「物不知數」的問題與解法。

上面的內容都不是我研究的結果。我只是把一些資料整理一下。有興趣的朋友可以去搜尋 Lam Lay Yong、錢寶琮、郭書春等學者的著作。

《古蘭經》中的數學遺產

今天的誠品日曆介紹的是哈濟生的《伊斯蘭文明》這本書，不過，這讓我想到伊斯蘭文明的重要根源《古蘭經》裡面，因為有提到遺產分配的法則，所以後續引發出一些數學問題，剛好可以放部落格分享。

《古蘭經》第四章婦女章裡面，有數節提到遺產分配的問題。列舉如下：

4:7 男子可獲父母和近戚們遺下的分額。女子可蕕父母和近戚們遺下的分額，無論多少——規定的分額。

4:8 有親屬關係者、孤兒、貧人，臨分到場的時候，你們要贈給他們一些；並對他們說好話。

4:11 安拉為你們的子女囑咐你們！一男獲若二女的分額。她們若是兩個以上的女子了，則獲他遺下的三分之二。若是僅她一人了，則獲半數。他的父母各獲他遺下的六分之一，如果他有子嗣的時候。他若無有子嗣，他的父母繼承他著，他母親獲得三分之一。如果他有弟兄，他母親獲得六分之一。這在用牠作遺囑或還付欠債以後。你們的父和子，你們不知哪是在利益上最近於你們的——由安拉規定的。安拉實是深知的，明哲的。

4:12 你們獲得妻室所遺的半數，若是她們無有子嗣的時候。如果她們有子嗣了，你們就獲得她們所遺的四分之一，在她們用牠作遺囑或還欠以後。她們獲得你們所遺的四分之一，若是你們無有子嗣的時候。如果你們有子嗣了，她們就獲得你們所遺的八分之一；在你們用牠作遺囑或還欠以後。如果被繼承的男子或女子，是一個上無父母，下無兒女的，在他有一弟（兄）或一姊（妹）他倆各獲所遺的六分之一。如果他們是多過這個的，他們就於三分之一上共同。這在用牠作遺囑或還欠以後，不得有妨害。安拉的囑告。安拉是深知的、仁厚的。

大家一定看得眼花撩亂。根據普遍接受的解釋，取重點來說：
(1) 財產遺可以贈予陌生人，但遺贈所得原則上不超過全部遺產的1/3為原則。
(2) 在扣除陌生人所得的遺產後，若死者留下未亡人與子女，則配偶可得遺產1/4，剩餘的3/4由兒子和女兒以2比1的比例分配。
(3) 當遇到兒子向父親借貸的情形，在分配上，這個兒子最差的情況就是拿不到遺產，即是以所得遺產與借貸的錢數抵銷，並不需向其他繼承人償還不足的金額。

這些原則就可以引出許多問題，被中世紀的數學家當成例題放在他們的著作中。比如在阿爾•花拉子模 (Al-Khowarizmi) 的著作中，有下面的問題：

一位婦女過世，留下丈夫、兒子和三個女兒，計算每一位繼承人各能分得的資產部分。

解答：丈夫取得 1/4，其餘 3/4 由兒子與三女以 2:1:1:1 來分配。子女的部分既然要分5部份 (2+1+1+1)，而父親取1/4，4與5的公倍數是20，所以丈夫得5/20，兒子取6/20，每個女兒分得3/20。

這題計算並不困難，大家也可以用簡單的代數做計算。另一個比較有趣的問題如下：

有一人過世，身後留下二子，並且要把資本的1/3遺贈給一位陌生人。而他共留下了10金幣以及對於其中一子10金幣的要求（即其中有一子欠父親10金幣）。

這題用現代數學來看有幾種不同的解法，各有巧妙不同。其中一種解法是這樣想。正常來說，兩個兒子與陌生人可以各得父親遺產的1/3，但是其中一子對父親的債務佔父親資產的一半，所以他的債務必然多於應得遺產。但是根據 (3)，他只需要還出能與他所得遺產抵銷的金額即可，不用再多還給其他繼承父親債權的人。所以，我們假設欠錢的兒子要還 x 金幣，所以父親能夠分配的遺產是 (10 + x) 金幣，每個人得到1/3，所以欠錢的兒子也得到這麼多，兩相抵銷。因此得到方程式 

(10 + x) * 1/3 = x

解方程式得 x = 5。

我第一次看到這個解法的時候也覺得很神奇，但這個問題的解釋方法不只一種。各位讀者可以自己想想看，順便體會伊斯蘭文明的風貌。

參考資料：蘇意雯 (2008) ，［可蘭經裡的遺產－代數學］，《當數學遇見文化》（臺北：三民書局）。

金正喜藏微波榭叢書

今天與成均館大學姜珉廷研究員及首爾大學博士生金슬기同學一起到首爾大學中央圖書館古文獻閱覽室找資料。

這次來看的是金正喜 (1786-1856) 的藏書。金正喜字元春，號秋史、阮堂，是朝鮮後期的經學家、書法家、金石家。上面那些學問我當然都不懂，我來看的是他收藏的算學與天文書籍。我研究的算學家南秉吉曾經為中國算學經典《九章算術》寫一本十九世紀的近代註解（真的是近代，因為有用到西洋數學的概念）。但是，我們不完全確定他看的是那個九章的版本。過去我參與過的臺灣與中國方面的研究，從數學內容比對，認為他看的是戴震親家孔繼涵刻的「微波榭本」。姜珉廷在博士論文研究時找到金正喜收藏的「微波榭本」。因為南秉吉的母舅與學問上的老師金逌根 (1785～1840，當然也是安東金氏)，以及南秉吉的兄長南秉哲，都與金正喜有書信往來，而南秉吉在金正喜死後，還協助編輯金正喜的書法集與文集。從南氏家族與金正喜的關係來推測，這次找到金正喜所藏「微波榭本」《九章算術》，應該是確認南秉吉根據「微波榭本」註解《九章算術》的有力證據。

這次有看到「微波榭叢書」與「戴氏遺書」。每一卷的首頁都有「秋史珍藏」的印章，最後都有「阮堂」的印章。叢書中還有很多紙條與夾頁，是由兩個不同筆跡的人所寫的數學註解，但是姜珉廷博士比對過南秉吉的書法，這兩位都不是南秉吉。

來首爾得到許多韓國學者的幫助，真是萬分感謝。

《革命分子耶穌》讀書心得

很多東西放在臉書久了就會不見, 放在網誌上會有比較長的保鮮期 (不過我不相信 "永久保存" 這回事就是了). 根據書上的介紹, 作者雷薩‧阿斯蘭（Reza Aslan）是伊朗裔美國作家, 出生於伊朗, 從小跟隨家庭傳統信奉伊斯蘭教. 移民美國後, 他參加了福音青年營, 深受上帝吸引, 改信基督教. 但在鑽研聖經時, 他發現其中有許多矛盾與不合理之處. 上大學研讀宗教史之後, 對聖經更加質疑. 他因此拋棄基督教信仰, 重回伊斯蘭教的懷抱. 隨後他轉以學者的身分研究耶穌.在經過二十年的嚴謹研究之後, 如今他更信從耶穌了, 只不過他信仰的是身為凡人的拿撒勒人耶穌, 而非做為神的基督耶穌。

以下是我的三段讀書心得.

[Zealot 讀書筆記之一] 今天一邊吃早餐, 一邊讀關於拿撒勒人耶穌的研究.

做為基督徒, 我讀聖經. 而做為一個歷史研究者, 我也對歷史學家如何重建聖經與歷史上的耶穌很感興趣. 之前讀過一本關於摩西五經文本歷史的研究 (R.E. Friedman, Who Wrote the Bible?), 現在來從歷史 (而非神學) 的角度看活在第一世紀, 基督教成型之前的拿撒勒人耶穌 (而不是基督耶穌), 很有意思.

早上只讀了幾十頁, 最有趣的一段話是: "路加不具備我們所說的 '歷史' 觀念. 歷史是指對於過去可見或可證明的事件進行考證與分析, 這種觀念是現代的產物; 福音書的作者對這種觀念是完全陌生的, 他們不認為歷史是挖掘 '事實', 他們認為歷史是顯示 '真理'.《路加福音》的讀者跟古代大多數人一樣, ...在他們的精神經驗裡, 神話與現實是緊密聯合在一起的". 這樣的看法在史學界一點都不奇怪, 只是對於把聖經看成宗教經典的基督徒而言, 我需要把它轉換成歷史文本來看. 這也讓我聯想, 當孔子告訴學生, 堯對舜說 "天之曆數在爾躬", 或是司馬遷寫下殷商前人 "自契至湯八遷, 湯始居亳" 時, 他們或許也是在闡述 "真理", 而非現代意義的歷史.

這種文本中的 "真理", 也讓我想到一個不恰當的隱喻, 就是我常讀的古代數學文本與宗教經典之間的類比. 我不完全是柏拉圖實在論的信仰者, 更多的時候, 我跟某些數學家的想法類似. 那就是, 數學很有用, 但數學家寫下的文本, 常常是某種意義下的 "真理", 但不見得是物理世界的客觀描述. 

[Zealot 讀書筆記之二] "凱薩的物當歸給凱薩, 神的物當歸給神". 馬太福音22章21節.

這段話是許多基督徒與非基督徒共同熟悉的話. 故事的背景是, 公元30年前後, 耶穌騎驢, 與門徒在群眾歡呼中進入耶路撒冷. 次日耶穌到聖殿教訓人, 潔淨聖殿. 但耶穌的某些行為違反了羅馬人的法律與猶太公會的權威. 聖殿當局設下詭計, 希望把耶穌連結到當時的狂熱派革命分子. 所以他們在公開場合質問耶穌說是否該繳稅給凱薩? 若耶穌回答不該, 那麼他的意見就會跟當時猶太狂熱派革命份子相同, 就是主張猶太地不屬於羅馬, 所以猶太人也毋需繳稅給凱薩. 耶穌請他們拿一個銀錢來, 問他們錢幣上的像與號是誰的? 宗教當局回答是凱薩的. 於是, 耶穌說了上面的那句經典回答.

許多世紀以來, 學者認為耶穌的回答表示他希望人們放下俗世的金錢, 追求永生的上帝, 而且也讓耶穌不受當局陷害. 但 Reza Aslan 認為, 這不符合當時政治的動盪局勢, 也違反耶穌自稱彌賽亞, 要讓猶太人脫離羅馬佔領的宣告. Aslan 從福音書的希臘文分析, 認為耶穌是說銀錢本來就是凱薩鑄造的, 應該"歸還"給凱薩, 而羅馬人同樣地該把神的東西, 也就是聖地, "歸還" 給神. Aslan 認為, 這句話恰恰證明耶穌是狂熱派革命份子 (zealot) 的罪狀.

把耶穌視為 "zealot", 難怪美國的保守派基督徒與福斯電視台要修理 Aslan. 像這樣從話語的蛛絲馬跡和社會背景推論古人想法, 是歷史學家常見的做法. 我對朝鮮算學家思路的解讀, 也有用到這樣的方法, 結果讓我跟現代韓國數學家從純數學觀點的解讀不合. 扯遠了. 我以前以為除了聖經以外沒有瑪麗亞之子耶穌的紀錄, 後來才知道其實一世紀猶太史學家就的確有記載到 "人稱彌賽亞的耶穌, 他的兄弟雅各犯了法", 後來雅各被叛亂石砸死. 歷史的耶穌與神學的耶穌同樣真實, 但 Aslan 還會提供多少對耶穌生平的有趣解讀, 就讓我們繼續看下去 (不, 我不要學盛竹如 XD).

[Zealot 讀書筆記完結篇] 「人稱義，不是因行律法，乃是因信耶穌基督。」（聖經加拉太書2章16節）

上面這段話是保羅有名的 "因信稱義" 神學, 我的理解是, 他認為基督徒不需要遵守摩西的律法, 只需要相信耶穌基督, 就可在神面前稱為義人. 而這是他跟公義者雅各在神學上最大的不同. Zealot 的作者 Reza Aslan 在著作中說, 在耶穌被釘十架後, 他的追隨者分裂成兩派. 一派以耶穌的弟弟公義者雅各為首, 使徒彼得與約翰為核心, 在耶路撒冷向猶太人傳教; 另一派主要以保羅為首, 主要在羅馬帝國各地, 向說希臘語或擁有羅馬公民身分的離散猶太人或外邦人 (非猶太人) 傳教. Aslan 提出了許多歷史以及聖經證據, 說明兩派在神學立場與宣教策略上有極大衝突. 雅各主張彌賽亞的信仰只應向猶太人傳, 信徒應當遵行摩西律法, 而且雅各極力主張要對抗耶路撒冷腐敗且與羅馬勾結的高級猶太祭司階級; 保羅, 這位說希臘文, 甚至在耶穌被釘十架之前沒有見過耶穌的羅馬公民, 主張要向外邦人傳教, 而且基督徒不須遵行摩西律法. 我個人也覺得保羅對羅馬政府的態度是比較溫和的.

兩派的衝突, 造成耶穌追隨者的分裂, 但這也是基督教宣教的契機. 保羅承認耶路撒冷母會的權威, 但他盡可能在羅馬城市宣教. 公元62年, 雅各被猶太祭司處死, 70年左右, 雅各的會眾與聖城中的居民都被羅馬屠城軍隊殲滅. 耶路撒冷被毀之後, 基督教已經幾乎成為外邦人的宗教, 它需要外邦人的神學, 而這正是保羅所提供的. 基督教後來變成羅馬帝國制度化的宗教, 我也在20世紀成為基督徒, 這都跟保羅有關. 新約27卷書信中至少有14卷是保羅所寫, 無怪乎有人戲稱基督教是 "保羅教".

對於部分保守派人士認為, 身為穆斯林的 Aslan 寫這本書是要詆毀耶穌與基督教, 我是完全反對的. Aslan 在書中也提到耶穌的復活, 他雖然認為耶穌復活的故事大概要到公元90年才被寫下, 但是他也說這件事情的討論已經脫離歷史研究的範疇, 要以理性證明或否證都是無用的. 但有一件事是確定的, 就是宣揚耶穌復活的基督徒, 即使面對性命威脅, 仍然不願放棄這樣的信仰, 這是一件費解的情況. 對聖經歷史或猶太歷史有興趣的讀者而言, Aslan 的書應該是一本易讀的好書. 對我個人來說, 閱讀歷史上的拿撒勒人耶穌與閱讀神學上的耶穌基督同樣令我興奮. 耶穌不只在天上, 他也曾又真又活地行走在第一世紀的巴勒斯坦!

A Zometool model for an astrologer's platform

In ancient China, the solid as shown in the picture is called chutong 芻童, which can be roughly translated as "truncated hill". As the reader can see, it has a bottom face and a top face, both of which are oblongs with unequal lengths and widths. On its four side faces are four trapezoids. This solid is often used as an astrologer's platform for observing the heavens, or as an emperor's mausoleum.

If the length and width of the top face are a and b, the length and width of the bottom face are c and d, and the height of this solid is h, then its volume formula is given in the Nine Chapters of Mathematical Art (1st century) as

Liu Hui's derivation for the volume of pyramids (with a photo of a Zometool model!)

Liu Hui 劉徽 (ca. 263 AD) was a mathematician from the Wei Empire (魏國) in modern-day Northern China. His most important contribution was his commentary on the Nine Chapters of Mathematical Art (九章算術). One of the most interesting pieces of his commentary is his demonstration of the volume formulae of two kinds of  pyramids: yangma 陽馬 and bienao 鼈臑.

公共圖書館

我一直覺得公共圖書館是個很棒的地方, 因為它提供社會大眾一個免費獲取知識的來源. 但是, 在20世紀之前就出現的公共圖書館, 就是很神奇的地方.

「道」與無理數

2003年時，研究古希臘科學的大師 Geoffrey Lloyd 與研究中國科學的大師 Nathan Sivin，合寫了一本 The Way and the Word，比較公元前四世紀至公元二世紀這段時間的希臘科學與中國科學。這本書的名字極為有趣，因為他們從古希臘與中國分別找了一個在語言上與哲學上似乎互相糾纏不清的兩個概念，古希臘的 "word" 與中國的 "way"。這兩個詞當然都是英文，而這兩個詞的來源，在中國就是「道」，在古希臘是「λόγος」，翻成中文，剛好也是「道」。

這兩個詞彙在各自文明的科學概念中，從兩位作者的角度來看，應該是佔有核心地位的詞彙，才會拿來當書名。我不敢說我瞭解多少中國的「道」，但是對於希臘文的「道」，倒是有些可以跟數學扯上關係的內容可以分享。

關於希臘文的「道」，一個有趣的聯想可以從聖經來說。如果我們看新約聖經約翰福音1章1節的希臘原文，英文欽定版 (King James Version)，以及中文和合本的話，我們會看到下面三句話：

數學史上的張衡

剛剛看到友人的臉書，想起今天是紀念韓國獨立運動的「三一節」。不過誠品日曆寫的是張衡。我是不太知道，張衡測到地震的日子從東漢太初曆換算成現代陽曆是不是三月一日，不過他的名字讓我想起算學典籍中的張衡。

張衡是二世紀的天文學家。在東亞古代，天文學者通常也是算學知識的保存者與創造者。東漢的張衡當然也懂算學，我們從小就聽過候風地動儀，但對張衡的數學成就一無所知。三世紀的劉徽在注解《九章算術》時曾引用過「張衡算」，但不知實際出處為何。就像亞里斯多德引用前蘇格拉底哲學家時一樣，是從批評的角度出發，劉徽引張衡其實是要批他一頓。那一段是關於球體積公式與圓周率的論證。圓周率對所有古文明來說是無法迴避的麻煩，《聖經》的〔列王記上〕與〔歷代志下〕都有提到所羅門聖殿中的「銅海」為「徑十肘，圍三十肘」。東亞古代也有「周三徑一」的估計。

根據《九章算術》劉徽注的說法，張衡巧妙地加入一些近似值去討論球與其內接外切正方體體積，並且劉徽暗示張衡可能已經知道「兩球體積之比等於與其外切正方體體積之比」這樣的洞見。不過最後張衡得到的圓周率是「十之面」，也就是根號10，約為3.16。這個二世紀的近似值看在三世紀劉徽的眼中已經太過不準確，劉徽引張衡完全就是要襯托自己的對圓周率估計的正確。我個人覺得，張衡那段話的有趣之處在於他如何定出計算過程中的近似值使計算變得容易，還有他討論球與外切正方體的關係。

北醫的經典閱讀

蔽校台北醫學大學，有一群通識課程稱為「經典閱讀」。顧名思義，就是要在課堂上帶領學生直接閱讀古代經典原文，或是他們的現代語言譯本。閱讀經典對於非人文專業的學生來說，其意義就在於透過各文化體系中具開創性、典範性的文本，將人類文明共享的基礎知識與價值傳達給學生，並且協助學生將經典知識活化，與現代的真實世界做連結。

今天誠品日曆介紹的莎翁劇，當然也屬於重要經典的行列。在我們的課程中，被分類到外國經典。雖然我們有頗豐富的經典書單，但限於師資，目前穩定開設的外國經典課有：

西方文明中的歐幾里德

過去四十年來，所有在台灣完成義務教育的人，一定在國中課本中讀過兩樣東西：其一，歷史課本中提到希臘科學的代表作 – 歐幾里得 (Euclid) 的《幾何原本》(Elements) –，其二，數學課本裡的平面幾何與邏輯推理。大部分的中學教師可能會告訴學生，國中的平面幾何就是來自歐幾里得的作品，這是未來學習更高深科學不可或缺的工具。中國清初數學家梅文鼎也說：「言西學者，以幾何為第一義。」然而，我們大多數亞洲人不一定能感覺到的，是歐幾里得《幾何原本》對所謂「西方文明」產生的巨大影響。本文希望從《幾何原本》的內容與背景出發，加上幾個例子，來說明西方文明裡無所不在的歐幾里得。

《幾何原本》約於公元前300年寫成，但故事緣起於更早的時代。從公元前六世紀初，第一位有紀錄的自然哲學家泰利斯 (Thales) 開始，許多古希臘人就開始嘗試尋找在自然表象背後的統一理性解釋。泰利斯與其他哲學家對幾何想法背後統一性的追尋，使得他們去探索邏輯方法，讓他們能從某些幾何敘述，推導出其他敘述。那些敘述是眾所週知的，但是，將這些敘述以邏輯連結的過程，就是從某些比較基本的論述證明較為複雜的論述，則是一種相當難可貴的創新。 

除了對理解自然所做的追求工作之外，古希臘社會中也逐漸認同邏輯推理的必要性。從約公元前500年起，雅典的就發展出了一種大多數男性自由公民都能直接參與的政治制度，政治菁英要推行政策，需要在公民大會中取得公民的同意，而對公民闡述理念，則需要辯證與修辭。雅典的司法制度，從公元前五世紀中葉起，也出現了由隨機選出的公民所組成的陪審團。由於當時並未有現代的刑事鑑識科學，可以提供DNA或指紋證據，所以，具有說服力的演說，就是法律程序中最的重要元素。

此外，古希臘幾乎沒有如中國戰國時代的「養士之風」，或是歐洲文藝復興時期，封建領主「贊助」科學家研究之風氣，因此，哲學家等學者必須獨立謀生。古希臘社會對學習辯證與修辭的需要，讓各個不同學派的哲學家，包括被污名化的「詭辯學派」(sophists)，都能夠以講學來謀生。這些不同的學派如何招攬比別人多的學生呢？很（不）簡單，他們必須在著作或公開辯論中打敗持相反意見的人，證明自己的學說才是最正確的，而這也需要很好的邏輯及其訓練才能做到。

公元前四世紀下半葉，馬其頓的亞歷山大征服了希臘半島、埃及，以及西亞，歐洲與西亞歷史進入史家所稱的「希臘化時代」。亞歷山大死後，控制埃及的托勒密 (Ptolemy) 王國對於蒐羅知識與智者，有特別的興趣。他們在尼羅河出海口的亞歷山卓 (Alexandria) 建立了「大圖書館」與「謬思女神的殿堂」（Museum, 即今日英文「博物館」的字源），支持各種知識的保存與部分學者的研究。歐幾里得就是在當時的亞歷山大擔任教師，寫下了《幾何原本》。

希臘人對自然哲學 (natural philosophy) 與邏輯的追求，到了歐幾里得的時代，已累積了很多知識。當時，已經發展出了很多數學，而且幾乎所有都與幾何或數論有關。畢氏學派的研究已經進行了兩個世紀，而其他人也寫下了他們的數學發現。柏拉圖的哲學與亞里斯多德的方法論（含邏輯）已有深厚的基礎，所以，學者們知道數學「事實」必須以推理說明其正當性。許多數學的結果可以被更基礎的想法所證明。但是，即使那些證明也毫無組織，每個證明都從自己的假設出發，而沒有考慮與其他證明的一致性。

奠基於前人的工作，歐幾里得組織了過去希臘數學家的成果，並且將之延拓。他的目的，似乎是要將希臘數學建築於統一的邏輯基礎之上，而這件事情也呼應古希臘社會對邏輯的需要。歐幾里得「從根做起」，重建了希臘數學。他的《幾何原本》，正是一部百科全書式的著作。

整部《幾何原本》分為十三卷，共465個「命題」（propositions，現在我們可稱之為「定理」），而每一個定理都是由它之前的敘述所證出。每個命題的敘述之後是相關圖形，再來是詳細的證明。每個證明的結尾是一句「此即所欲證的」。這句話的拉丁譯文為「quod erat demonstrandum」，這就是證明結尾常見縮寫「QED」的由來。另一方面，《幾何原本》也包括了很多有關尺規作圖的命題，其中除了證明作圖可行之外，當然必須先描述作圖程序，而拉丁文的作圖完畢，就稱為「quod erat faciendum」，縮寫為「QEF」。

如同亞里斯多德所指出的，邏輯系統必須建立於幾個我們認為理所當然的假設之上。所以，在給出23條名詞定義之後，歐幾里得提出了十個基本假設，然後，嘗試利用精心設計的證明，從定義基本假設推導出其餘的幾何知識。 

《幾何原本》卷一的十個基本的假設如下：
1. 等於相同量的量彼此相等。
2. 等量加等量，其和仍相等。
3. 等量減等量，其差仍相等。
4. 彼此能重合的物體是相等的。
5. 全體大於部分。
6. 由任意一點到任意一點可畫直線。
7. 一條有限直線可以繼續延長。
8. 以任意點為圓心及任意距離可以畫圓。
9. 凡直角都相等。
10. 一條直線與另外兩條直線相交，若某一側的兩個內角和小於兩直角，則這兩條直線不斷延長後在這一側相交。

以現代術語來說，這十條起點敘述是歐式平面幾何的「公設」（axiom）。前五條是關於量（在英文版中，「量」對應了 “thing”）的一般敘述，適用於所有的演繹科學 (deductive sciences)，因此，在本書中，它們被稱為「公理」(common notions)。至於第二組的五條，則是特別關於幾何的敘述，在被稱為「設準」的這一組公設前頭，出現了極易被忽視的一句話，那就是：讓下列被假設成立 (Let the following be postulated)，可見，歐幾里得早已注意到幾何學迥異於其他演繹科學之獨特性，而這正是非歐幾何學發展的契機之一。不過，這是後話，我們在此暫時不表。無論如何，按歐幾里得的觀點，這十條敘述直覺上是不證自明的 (self-evident)。換句話說，任何知道敘述中每個字意義的人，都會相信這些敘述。

從這個簡單的開頭 – 23條定義與10條明顯成立的敘述 – 歐幾里得建造了整個平面幾何的理論。而且從他的時代開始，《幾何原本》就被世人奉為學習幾何與邏輯推理的圭臬。


歐幾里得的著作，其重要性之所以歷久彌新，不只是在於它提供了大量的數學知識，更重要的是，它教你如何思考。《幾何原本》從不證自明的敘述出發，利用邏輯，一步一步建造複雜的理論，其中每一部份都堅固地附加在已經被建造完成的地方。如此得到的事實，被認為具有「確定性」(certainty)。的確，從歷史的角度來看，數學的知識也似乎是確定的，兩千多年前被證明的畢氏定理，現在仍然「正確」（只要你同意歐幾里得的公設），但是，古希臘的物理學、生物學、醫學等科學，與現代的科學就有很大的不同。

由於《幾何原本》所展現的方法帶來確定性，所以，兩千年來，許多人物都以這種的方法為標準，試圖建立自己學說的確定性。以下，我們簡短地舉幾個著名的例子，以顯示歐幾里得的作品如何形塑並應用於西方思想的許多面向。

阿基米德 (Archimedes)：阿基米德（前287？ – 前212）在數學上有許多偉大的貢獻，包含證明圓面積、球體積等。而他在物理學上最有名的貢獻之一，則是槓桿原理，他「證明」了這個原理，不是靠做實驗，而是用歐幾里得的方法，從例如「等重之物在相同距離處達到平衡」這類的公設出發，利用邏輯推導得到的結果。當然，阿基米德對邏輯方法的重視，不見得只是受到《幾何原本》的影響，也是受到古希臘哲學家，特別是亞里斯多德學說的影響。

史賓諾莎 (Baruch de Spinoza) 的《倫理學》(Ethics)：史賓諾莎 (1632 – 1677) 是位荷蘭哲學家。他的《倫理學》完全依照《幾何原本》的體例，在每一章的開頭有數條定義與公設，接著，是這一章的命題，每個命題之下有證明。在第一章〈論上帝〉(Of God) 中，有例如「實體，吾人理解為處於自身之內，且透過自身而被認識之物」的定義（好比《幾何原本》第一卷定義一：點，為無部分之物）；有例如「一切事物，若不能透過它物而被認識，就必透過自身而被認識」的公設。還有如「具有無窮多屬性之上帝，或實體，……必然存在」這樣的命題，使用歐氏幾何的形式，希望「證明」上帝的存在，證明結尾還寫上QED。

牛頓：牛頓 (1642 – 1727) 將他的三大運動定律也稱為「公設」。他的《自然哲學的數學原理》(Philosophiae Naturalis Principia Mathematica) 也仿照《幾何原本》的結構。奠基於三大運動定律與重力，他的宇宙系統是以數學的形式呈現於世人面前。牛頓物理學的成功，大大增強了一種觀點，就是「數學是科學的恰當語言」。此外，藉著他的宇宙數學模型，牛頓也大力鼓吹從設計上看出上帝存在的說法。太陽系的數學完美性 – 行星都以橢圓軌跡行進，且在同一平面上公轉 – 不太可能是隨機產生的結果，而是「一個強大存在所思量與主宰之後的結果」。這類不從天啟出發，而強調從哲學與觀察自然來說明上帝存在的「自然神學」 (theologia naturalis)，自然十分倚重數學與理性。

美國獨立宣言：美國的獨立宣言 (Declaration of Independence, 1776) 是另一個十分有名的例子。在簡短的序文之後，這份文件提出了幾個「不證自明的真理」：「凡人皆生而平等，秉造物者之賜，擁諸無可轉讓之權利，包含生命權、自由權、與追尋幸福之權」。而且，如果任何政府不遵守這些公設，「則人民有權改組或棄絕之，並另立新政府」。在中段的開頭，他們說要「證明」大不列顛國王喬治三世並未遵守那些公設。最終的結論是：「所以，我等……鄭重發表與宣告，團結之諸殖民地為，亦有權是，自由獨立之國家」。在這份文件中，作者們企圖以歐幾里得方法得到的確定性，來說服世人，他們不是反抗國王的叛亂份子，反之，他們在獨立這件事上是具有充分正當性的。

由以上幾個例子，我們可以知道，歐幾里得的方法，是西方文化中極為重要的一環。《幾何原本》的內容，也一直是古代西方與現代世界學習數學與科學的重要依據。然而，《幾何原本》的內容本身十分形式化，相當枯燥乏味，而且完全沒有任何引起學習動機的過程。在上個世紀末的台灣，中學的數學為了要更吸引學生，為了要把每個學生都帶上來，教學內容更強調「發現」數學知識，所以，許多形式化的內容，都被改為探索與發現之事實，最後，再學習一點點證明的方法。這樣立意良善的課程，受限於時間，加上國中基本學力測驗無法設計證明題，使得在國中幾何課程中，邏輯證明對師生而言，似乎都變成比較次要的學習。

這樣的結果十分令人遺憾的。因為，正如美國數學史家葛賓娜 (Judith Grabiner) 所說，我們教數學，不只是教數量推理，不只是教一種科學語言，更重要的是，經由對歐氏幾何的學習，學生去認識在西方思想佔有中心地位的數學，進而增加我們對人類文明的理解！筆者同意，這樣的理想的確不容易達成，但是，如果我們完全不教學生邏輯與證明，從來也不在數學或歷史課堂討論《幾何原本》，那麼，我們的學生所學到的幾何知識仍然是沒有知識結構系統的，而且，學生也無法感受到數學知識對人類文明的重要性，更失去一個瞭解西方文明的機會！所以，筆者認為，學習演繹推理方法，至少是與學習數學知識本身是一樣重要的，而且，我們若不認識西方文明中的歐幾里得，大概就難以理解「西方」本身了！

參考資料
1. Berlinghoff, William P. & Fernando Q. Gouvêa（洪萬生、英家銘暨HPM團隊譯）(2008)，《溫柔數學史：從古埃及到超級電腦》。台北：博雅書屋。
2. Grabiner, Judith V. (1988). “The Centrality of Mathematics in the History of Western Thought”, Mathematics Magazine (61)4, pp.220 – 230.
3. Heath, Thomas L. (1956). Euclid: Thirteen Books of The Elements. New York: Dover Publications, INC.
4. Lloyd, Geoffrey & Nathan Sivin (2002). The Way and the Word. Science and Medicine in Early China and Greece. New Haven: Yale University Press.
5. Martin, Thomas R. (2000). Ancient Greece. From Prehistoric to Hellenistic Times. New Haven: Yale University Press.
6. Wild, John (Ed.) (1930). Spinoza Selections. New York: Charles Scribner’s Sons.

(原文發表於《科學月刊》2008年3月號)