此孫子非彼孫子

《孫子兵法》人類歷史上最古老的兵學著作之一，對後世影響深遠。除了兵學之外，這本書對博奕與體育競技的策略上都有影響。東亞諸國日常生活中許多諺語與成語，也是來自這本書。今天的誠品日曆，建議大家再去品味這不對我們的文化影響深遠的著作。《孫子兵法》被認為是公元前六世紀末的吳國人孫武所著，所以書名上的「孫子」應該就是指孫武。

不過，在東亞歷史上，還有另一位「孫子」，寫下了一本書叫做《孫子算經》。我第一次看到這本書的時候，直覺就想到，這本書的作者，會不會跟《孫子兵法》的作者是同一人呢？畢竟，懂軍事的人，可能也要懂一點數學，才能「運籌帷幄之中，決勝於千里之外」（這句話出自《史記·高祖本紀》，形容的是張良，「運籌」就是用算籌進行計算）。當然，我這樣的直覺並沒有根據。從書中的內容來看，算題中出現「佛書」還有「棊局方一十九道」的用語，不可能是在公元前六世紀成書，因為佛教在公元一世紀後才傳入東亞，且 19x19 的圍棋也是魏晉之後才有的規格。學者根據書中的內容，大多將這本書的年代定在公元四至五世紀左右。所以，這本書的作者不可能是孫武。只不過，歷史與考古學上找不到任何紀錄，告訴我們作者是誰。我們只知道他應該生活在南北朝的年代。

從這本書的內容來看，很多是基礎的算術方法，也有稍微複雜的面積與體積問題，後者可能超越先秦算學的發展，但都包含於漢代成書的《九章算術》之中。不過，這本書有兩個影響深遠的算題，在漢、魏之前的算學著作不曾出現。第一個算題是有名的「雞兔同籠」問題，大家在小學都做過。《孫子算經》的思路基本上跟大家在小學的算術思維一樣。原書題目是說：「今有雉、兔同籠，上有三十五頭，下九十四足。問雉、兔各幾何？」假設籠中全部都是雞，94足就是47隻雞，但籠中僅有35隻動物，少了12隻。兩隻雞的腳的數目等於一隻兔的腳的數目。所以，每少一隻動物，就等於用兩隻雞換一隻兔子，少了12隻動物就表示有12隻兔子。確定兔子數量之後，我們就得到雞有35 - 12 = 23隻。這個問題在後來許多的算書中出現，成為基本算術的重要練習題。這個問題傳到日本之後，就變成了有名的「龜鶴算」。

《孫子算經》中另一個名題，就是「物不知數」問題，本質上是一次同餘方程組問題。很多朋友在中學都時候就做過「韓信點兵」的問題，本質上就與此題相同。這個算題是人類歷史上首度出現一次同餘方程式與其解法。雖然「中國剩餘定理」、一次同餘方程組的一般解法與證明，都要等到很晚才出現，但這個題目跟它的解法的出現，仍然有重要的時代意義。下面是《孫子算經》現存最早的宋版書影，圖中有「物不知數」的問題與解法。

上面的內容都不是我研究的結果。我只是把一些資料整理一下。有興趣的朋友可以去搜尋 Lam Lay Yong、錢寶琮、郭書春等學者的著作。