數學是量化研究還是質性研究?

想一個無聊的問題：當你是別人的判斷標準時，這個標準能不能用來判斷自己？

前兩天聽到一個故事。南部某大學一位做倫理學的A老師，說他有一次開會遇到同校醫學系的某大老B教授，B教授說話很婉轉，但是他說他常常無法理解A老師這樣做「質性研究」的人在做什麼。A老師說，他其實從來沒有把自己看成做「質性研究」的人。「質性研究」的反面應該是「量化研究」，而這兩個詞我個人感覺常用於形容社會科學（法律、政治、經濟、社會、教育）。社會科學的各分支的確有量化與質性的不同研究典範，雖然有時候不能用這樣的簡單二分法來區分。自然科學 (物理學、化學、生物學...) 與人文學科 (文學、歷史、哲學...) 很少會用質性或量化來形容。醫學研究在很多領域中因為會大量用到生物統計學，所以醫學研究裡面很多也是「量化研究」。我聽到這個故事時，我心裡其實想到的是，B大老的世界似乎把研究就二分為「質性」與「量化」，那他的標準什麼呢？我猜不是數學就是統計學。有用到數學或統計的就是「量化」，沒有用到的就是「質性」。所以醫學是「量化研究」，倫理學是「質性研究」。

所以問題來了。如果B大老的世界真的是這樣的二分法，那數學或統計學算「質性」還是「量化」？顯然B大老應該會認為都是量化研究。我數學雖然讀得不怎麼樣，好歹也跟數學很好的人混了二十年，但是從來沒有聽人用「量化研究」來形容數學。事實上，數學裡有很多領域，比如抽象代數或拓樸學，感覺起來很不「量化」，但這只是我的感覺而已。我只是想問，如果有用到數學是「量化研究」的標準，那數學算量化研究嗎？B大老心裡的標準應該不是「數學全體」，而可能是用到某些數學方法。我可以想像的是，他心中那些用以判準的數學方法如果被抓出來，我們應該可以找到數學某個分支是用不到那些數學方法（好啦！讓我作弊一下，高中以下的數學不算，不然加減乘除到處都用到，那所有人都量化了。B大老的標準一定是某些高等數學或統計方法）。所以，B大老會認為某些數學分支是質性研究，某些是量化研究嗎？

我又想到小時候聽過的一個例子。以前有個趙樹海主持的綜藝節目，其中一個遊戲的玩法是，主持人手上拿著答案，參賽者看不到。參賽者可以問主持人任何Yes/No的問題，主持人必須誠實回答，然後參賽者必須在時間內猜出那個東西是什麼。某次參賽者問那個東西是否在室內，主持人說這個問題他無法回答。為什麼呢？因為答案是「房子」。在房子裡面或外面就是判斷室內還是戶外的標準，但是「房子」本身算是存在於室內還是戶外呢？

如果你問我，數學是不是量化研究，我也會說，這個問題好像不太恰當，我無法回答。

「負載理論的觀察」(theory-laden observations) 與白目的台商

近代的科學哲學，會挑戰傳統對於「觀察」的「客觀性」的想法。上個世紀如 Thomas Kuhn 等哲學家認為，觀察常常是「理論負載」(theory-laden) 的。筆者不是哲學家，但用我粗淺的理解來說，就是不同的觀察者會有不同的理論預設，所以對於觀察到的現象，會根據理論假設的不同而有不同詮釋。因此觀察不是全然客觀，而觀察也不能來證實或反證某些理論。舉例來說，眾人舉頭都可以觀察到星星、月亮、太陽，但是當你假設宇宙靜止的中心是在太陽還是在地球，你對於月球與行星的軌道描述就會很大的不同。

這樣的想法讓我聯想到「董大媽們」。董大媽這個人本身其實是不值一提的人。但是，她讓我想到一件事情，就是人的腦袋，不見得會隨著環境有大的改變。就像上面科學哲學所討論到的，一個人看到的世界跟他的價值體系與參考框架有很大的關係。觀察者對現象的詮釋會受到他原有的理論框架影響。這跟董大媽們的關係是什麼呢？

網路上說董大媽有英國國籍，是在歐洲與中國做生意的台商，父親是來自中國，母親是台灣原住民。像董大媽這樣的「台灣人」有很多，見多識廣，有錢有勢有朋友，她的眼界比起我們一般台灣老百姓必然是寬得很多。她看到了歐洲的民主自由、社會公平，居住正義，族群關係。她也知道在中國做生意有多少潛規則要遵守。她更知道台灣的處境越發艱難。但是她的詮釋是什麼呢？就是台灣如果不接受中國的統一條件，台灣就會活不下去。中國如果不買台灣的農產品，台灣就活不下去。他認為在中國工作的台灣人與在台灣生活的中國大陸配偶，一定會投給支持統一的政治人物。為什麼她會這麼想呢？因為她觀察這個世界的基本參考框架，就是幾個民族主義與利益至上的原則，所以她在歐洲也看不到處理爭端應該用同理心與說理的方式，不見得要像中國跟美國一樣主要靠拳頭跟鈔票，她的理論框架讓她只看到歐洲人沒有中國人見縫插針與勤奮努力的個性。同樣地她在台灣也看不到台灣一般老百姓對失去原有生活方式的恐懼，她的理論假設讓她看到有錢最重要，而且賺錢要像她那樣賺才對。她在中國看不到既得利益者對於中國底層百姓的壓迫與工業發展對於環境的破壞，她的參考框架讓她只看到為求利益必須不擇手段。她看不到台灣的經濟發展成果主要被少數台灣政客與中國商人收割，她的理論預設只讓她覺得你沒有賺到錢是因為你沒本事又不支持統一。 

很多人說，隨著中國逐步的經濟發展與政治開放，中國終有一天會走向民主法治，而且因為中國人的勤奮與聰明，中國式的民主會比西方的民主更有效率，中國的法治會比西方的法治讓社會更為安全，二十一世紀是中國人的世紀。對於這些預測，筆者個人完全樂觀其成。但是，筆者對於這些預測的基本懷疑就是，當「董大媽們」與中國的菁英對於歐洲文明的觀察理論假設，仍然是東亞傳統的民族主義與實用主義原則的時候，他們會發展出如何的民主與法治社會呢？說白話，如果人都是戴著有色眼鏡看這個世界，我們每個人看到的世界就不會一樣。眼鏡不換，腦袋不改，我們對這個世界的詮釋就會不同，也會發展出不同的社會與政治制度。所以，我們也就不用驚訝「董大媽們」對東亞政治的看法與台灣老百姓差距這麼大了。

位於韓國慶州的瞻星台，建於七世紀，是東亞現存最古老的天文台，可用於觀察天象。

（圖片來源：wkikpedia.org）

「道」與無理數

2003年時，研究古希臘科學的大師 Geoffrey Lloyd 與研究中國科學的大師 Nathan Sivin，合寫了一本 The Way and the Word，比較公元前四世紀至公元二世紀這段時間的希臘科學與中國科學。這本書的名字極為有趣，因為他們從古希臘與中國分別找了一個在語言上與哲學上似乎互相糾纏不清的兩個概念，古希臘的 "word" 與中國的 "way"。這兩個詞當然都是英文，而這兩個詞的來源，在中國就是「道」，在古希臘是「λόγος」，翻成中文，剛好也是「道」。

這兩個詞彙在各自文明的科學概念中，從兩位作者的角度來看，應該是佔有核心地位的詞彙，才會拿來當書名。我不敢說我瞭解多少中國的「道」，但是對於希臘文的「道」，倒是有些可以跟數學扯上關係的內容可以分享。

關於希臘文的「道」，一個有趣的聯想可以從聖經來說。如果我們看新約聖經約翰福音1章1節的希臘原文，英文欽定版 (King James Version)，以及中文和合本的話，我們會看到下面三句話：

閱讀與數學

從教育哲學的觀點來看，數學知識有「程序性知識」(procedural knowledge) 與「概念性知識」(conceptual knowledge) 兩個面向。20世紀末的數學教育學者甚至提出「程序成概念」(procept = procedure + concept) 來形容數學知識對某些人而言可能有一體兩面的屬性。以色列學者 Anna Sfard 也提出「物化」(reification) ，來說明某些學生在數學學習過程中，當她將較為初階的計算或解題程序了然於心後，可以講整個過程用某個名詞代表，所以她思考整個過程時就好像在思考某個「物體」，而在她的心智活動中，他可以繼續對這個「物體」進行更高階的程序運算。

掉這麼多書袋，我只是想說，今天不小心聽到某位微積分老師說在數學的學科裡，「計算程序」比較重要，「閱讀」這件事沒那麼重要。這個人是工程背景出身的，這麼想不意外。我跟他的不同點在於，我認為「關於數學的閱讀」這件事對於上述的概念性知識與知識的物化，也就是提高學生思考層次這件事來說，是很重要的。他是很好的工程學者，也是很有經驗的微積分資深老師。我不認為我講一堆哲學的名詞就可以說服他。我甚至不確定我是對的。我大概只能在我的課堂上做不一樣的事情，如果微積分輪得到我教的話。

北醫的經典閱讀

蔽校台北醫學大學，有一群通識課程稱為「經典閱讀」。顧名思義，就是要在課堂上帶領學生直接閱讀古代經典原文，或是他們的現代語言譯本。閱讀經典對於非人文專業的學生來說，其意義就在於透過各文化體系中具開創性、典範性的文本，將人類文明共享的基礎知識與價值傳達給學生，並且協助學生將經典知識活化，與現代的真實世界做連結。

今天誠品日曆介紹的莎翁劇，當然也屬於重要經典的行列。在我們的課程中，被分類到外國經典。雖然我們有頗豐富的經典書單，但限於師資，目前穩定開設的外國經典課有：

康德與非歐幾何

讀了 James R. Brown 的書之後 (警告: 他是強烈的Platonist), 稍微了解康德對時間與空間的看法. 根據 Brown 的說法, 康德的中心思想之一是, 我們無法經驗到獨立於我們的事物, 而是心靈提供了經驗的架構. 時間, 空間與因果關係等, 都不是獨立客觀的實體. 我們經驗到了物體在空間的位置與事件在時間的順序, 是因為時間與空間是心靈對經驗的貢獻 - 時空是經驗的 "形式".

重點來了 --> 我們對幾何真理的先驗知識是來自一個事實: 空間是我們心靈的創造.

OK. 以我初步的理解, 這樣的確就讓人有空間可以說康德不贊成非歐幾何. 因為在康德的年代 (1724-1804), 還沒有真正非歐幾何的發表 (Bolyai 與 Lobachevsky 都在1820-30年代才發表, 高斯18世紀的研究完全沒發表). 康德認為空間是心靈的創造, 而康德的幾何只有歐式幾何, 所以他所謂先驗的幾何真理都是歐式空間中的命題. 後人的確可以此認為他不贊同非歐幾何的可能性, 因為幾何不可能獨立於人類心靈創造的空間, 而這個空間在過去2000年已經被歐式幾何提供了完整的先驗系統.

我對哲學真的很外行, 請臉書上的各位先進指教.

西方文明中的歐幾里德

過去四十年來，所有在台灣完成義務教育的人，一定在國中課本中讀過兩樣東西：其一，歷史課本中提到希臘科學的代表作 – 歐幾里得 (Euclid) 的《幾何原本》(Elements) –，其二，數學課本裡的平面幾何與邏輯推理。大部分的中學教師可能會告訴學生，國中的平面幾何就是來自歐幾里得的作品，這是未來學習更高深科學不可或缺的工具。中國清初數學家梅文鼎也說：「言西學者，以幾何為第一義。」然而，我們大多數亞洲人不一定能感覺到的，是歐幾里得《幾何原本》對所謂「西方文明」產生的巨大影響。本文希望從《幾何原本》的內容與背景出發，加上幾個例子，來說明西方文明裡無所不在的歐幾里得。

《幾何原本》約於公元前300年寫成，但故事緣起於更早的時代。從公元前六世紀初，第一位有紀錄的自然哲學家泰利斯 (Thales) 開始，許多古希臘人就開始嘗試尋找在自然表象背後的統一理性解釋。泰利斯與其他哲學家對幾何想法背後統一性的追尋，使得他們去探索邏輯方法，讓他們能從某些幾何敘述，推導出其他敘述。那些敘述是眾所週知的，但是，將這些敘述以邏輯連結的過程，就是從某些比較基本的論述證明較為複雜的論述，則是一種相當難可貴的創新。 

除了對理解自然所做的追求工作之外，古希臘社會中也逐漸認同邏輯推理的必要性。從約公元前500年起，雅典的就發展出了一種大多數男性自由公民都能直接參與的政治制度，政治菁英要推行政策，需要在公民大會中取得公民的同意，而對公民闡述理念，則需要辯證與修辭。雅典的司法制度，從公元前五世紀中葉起，也出現了由隨機選出的公民所組成的陪審團。由於當時並未有現代的刑事鑑識科學，可以提供DNA或指紋證據，所以，具有說服力的演說，就是法律程序中最的重要元素。

此外，古希臘幾乎沒有如中國戰國時代的「養士之風」，或是歐洲文藝復興時期，封建領主「贊助」科學家研究之風氣，因此，哲學家等學者必須獨立謀生。古希臘社會對學習辯證與修辭的需要，讓各個不同學派的哲學家，包括被污名化的「詭辯學派」(sophists)，都能夠以講學來謀生。這些不同的學派如何招攬比別人多的學生呢？很（不）簡單，他們必須在著作或公開辯論中打敗持相反意見的人，證明自己的學說才是最正確的，而這也需要很好的邏輯及其訓練才能做到。

公元前四世紀下半葉，馬其頓的亞歷山大征服了希臘半島、埃及，以及西亞，歐洲與西亞歷史進入史家所稱的「希臘化時代」。亞歷山大死後，控制埃及的托勒密 (Ptolemy) 王國對於蒐羅知識與智者，有特別的興趣。他們在尼羅河出海口的亞歷山卓 (Alexandria) 建立了「大圖書館」與「謬思女神的殿堂」（Museum, 即今日英文「博物館」的字源），支持各種知識的保存與部分學者的研究。歐幾里得就是在當時的亞歷山大擔任教師，寫下了《幾何原本》。

希臘人對自然哲學 (natural philosophy) 與邏輯的追求，到了歐幾里得的時代，已累積了很多知識。當時，已經發展出了很多數學，而且幾乎所有都與幾何或數論有關。畢氏學派的研究已經進行了兩個世紀，而其他人也寫下了他們的數學發現。柏拉圖的哲學與亞里斯多德的方法論（含邏輯）已有深厚的基礎，所以，學者們知道數學「事實」必須以推理說明其正當性。許多數學的結果可以被更基礎的想法所證明。但是，即使那些證明也毫無組織，每個證明都從自己的假設出發，而沒有考慮與其他證明的一致性。

奠基於前人的工作，歐幾里得組織了過去希臘數學家的成果，並且將之延拓。他的目的，似乎是要將希臘數學建築於統一的邏輯基礎之上，而這件事情也呼應古希臘社會對邏輯的需要。歐幾里得「從根做起」，重建了希臘數學。他的《幾何原本》，正是一部百科全書式的著作。

整部《幾何原本》分為十三卷，共465個「命題」（propositions，現在我們可稱之為「定理」），而每一個定理都是由它之前的敘述所證出。每個命題的敘述之後是相關圖形，再來是詳細的證明。每個證明的結尾是一句「此即所欲證的」。這句話的拉丁譯文為「quod erat demonstrandum」，這就是證明結尾常見縮寫「QED」的由來。另一方面，《幾何原本》也包括了很多有關尺規作圖的命題，其中除了證明作圖可行之外，當然必須先描述作圖程序，而拉丁文的作圖完畢，就稱為「quod erat faciendum」，縮寫為「QEF」。

如同亞里斯多德所指出的，邏輯系統必須建立於幾個我們認為理所當然的假設之上。所以，在給出23條名詞定義之後，歐幾里得提出了十個基本假設，然後，嘗試利用精心設計的證明，從定義基本假設推導出其餘的幾何知識。 

《幾何原本》卷一的十個基本的假設如下：
1. 等於相同量的量彼此相等。
2. 等量加等量，其和仍相等。
3. 等量減等量，其差仍相等。
4. 彼此能重合的物體是相等的。
5. 全體大於部分。
6. 由任意一點到任意一點可畫直線。
7. 一條有限直線可以繼續延長。
8. 以任意點為圓心及任意距離可以畫圓。
9. 凡直角都相等。
10. 一條直線與另外兩條直線相交，若某一側的兩個內角和小於兩直角，則這兩條直線不斷延長後在這一側相交。

以現代術語來說，這十條起點敘述是歐式平面幾何的「公設」（axiom）。前五條是關於量（在英文版中，「量」對應了 “thing”）的一般敘述，適用於所有的演繹科學 (deductive sciences)，因此，在本書中，它們被稱為「公理」(common notions)。至於第二組的五條，則是特別關於幾何的敘述，在被稱為「設準」的這一組公設前頭，出現了極易被忽視的一句話，那就是：讓下列被假設成立 (Let the following be postulated)，可見，歐幾里得早已注意到幾何學迥異於其他演繹科學之獨特性，而這正是非歐幾何學發展的契機之一。不過，這是後話，我們在此暫時不表。無論如何，按歐幾里得的觀點，這十條敘述直覺上是不證自明的 (self-evident)。換句話說，任何知道敘述中每個字意義的人，都會相信這些敘述。

從這個簡單的開頭 – 23條定義與10條明顯成立的敘述 – 歐幾里得建造了整個平面幾何的理論。而且從他的時代開始，《幾何原本》就被世人奉為學習幾何與邏輯推理的圭臬。


歐幾里得的著作，其重要性之所以歷久彌新，不只是在於它提供了大量的數學知識，更重要的是，它教你如何思考。《幾何原本》從不證自明的敘述出發，利用邏輯，一步一步建造複雜的理論，其中每一部份都堅固地附加在已經被建造完成的地方。如此得到的事實，被認為具有「確定性」(certainty)。的確，從歷史的角度來看，數學的知識也似乎是確定的，兩千多年前被證明的畢氏定理，現在仍然「正確」（只要你同意歐幾里得的公設），但是，古希臘的物理學、生物學、醫學等科學，與現代的科學就有很大的不同。

由於《幾何原本》所展現的方法帶來確定性，所以，兩千年來，許多人物都以這種的方法為標準，試圖建立自己學說的確定性。以下，我們簡短地舉幾個著名的例子，以顯示歐幾里得的作品如何形塑並應用於西方思想的許多面向。

阿基米德 (Archimedes)：阿基米德（前287？ – 前212）在數學上有許多偉大的貢獻，包含證明圓面積、球體積等。而他在物理學上最有名的貢獻之一，則是槓桿原理，他「證明」了這個原理，不是靠做實驗，而是用歐幾里得的方法，從例如「等重之物在相同距離處達到平衡」這類的公設出發，利用邏輯推導得到的結果。當然，阿基米德對邏輯方法的重視，不見得只是受到《幾何原本》的影響，也是受到古希臘哲學家，特別是亞里斯多德學說的影響。

史賓諾莎 (Baruch de Spinoza) 的《倫理學》(Ethics)：史賓諾莎 (1632 – 1677) 是位荷蘭哲學家。他的《倫理學》完全依照《幾何原本》的體例，在每一章的開頭有數條定義與公設，接著，是這一章的命題，每個命題之下有證明。在第一章〈論上帝〉(Of God) 中，有例如「實體，吾人理解為處於自身之內，且透過自身而被認識之物」的定義（好比《幾何原本》第一卷定義一：點，為無部分之物）；有例如「一切事物，若不能透過它物而被認識，就必透過自身而被認識」的公設。還有如「具有無窮多屬性之上帝，或實體，……必然存在」這樣的命題，使用歐氏幾何的形式，希望「證明」上帝的存在，證明結尾還寫上QED。

牛頓：牛頓 (1642 – 1727) 將他的三大運動定律也稱為「公設」。他的《自然哲學的數學原理》(Philosophiae Naturalis Principia Mathematica) 也仿照《幾何原本》的結構。奠基於三大運動定律與重力，他的宇宙系統是以數學的形式呈現於世人面前。牛頓物理學的成功，大大增強了一種觀點，就是「數學是科學的恰當語言」。此外，藉著他的宇宙數學模型，牛頓也大力鼓吹從設計上看出上帝存在的說法。太陽系的數學完美性 – 行星都以橢圓軌跡行進，且在同一平面上公轉 – 不太可能是隨機產生的結果，而是「一個強大存在所思量與主宰之後的結果」。這類不從天啟出發，而強調從哲學與觀察自然來說明上帝存在的「自然神學」 (theologia naturalis)，自然十分倚重數學與理性。

美國獨立宣言：美國的獨立宣言 (Declaration of Independence, 1776) 是另一個十分有名的例子。在簡短的序文之後，這份文件提出了幾個「不證自明的真理」：「凡人皆生而平等，秉造物者之賜，擁諸無可轉讓之權利，包含生命權、自由權、與追尋幸福之權」。而且，如果任何政府不遵守這些公設，「則人民有權改組或棄絕之，並另立新政府」。在中段的開頭，他們說要「證明」大不列顛國王喬治三世並未遵守那些公設。最終的結論是：「所以，我等……鄭重發表與宣告，團結之諸殖民地為，亦有權是，自由獨立之國家」。在這份文件中，作者們企圖以歐幾里得方法得到的確定性，來說服世人，他們不是反抗國王的叛亂份子，反之，他們在獨立這件事上是具有充分正當性的。

由以上幾個例子，我們可以知道，歐幾里得的方法，是西方文化中極為重要的一環。《幾何原本》的內容，也一直是古代西方與現代世界學習數學與科學的重要依據。然而，《幾何原本》的內容本身十分形式化，相當枯燥乏味，而且完全沒有任何引起學習動機的過程。在上個世紀末的台灣，中學的數學為了要更吸引學生，為了要把每個學生都帶上來，教學內容更強調「發現」數學知識，所以，許多形式化的內容，都被改為探索與發現之事實，最後，再學習一點點證明的方法。這樣立意良善的課程，受限於時間，加上國中基本學力測驗無法設計證明題，使得在國中幾何課程中，邏輯證明對師生而言，似乎都變成比較次要的學習。

這樣的結果十分令人遺憾的。因為，正如美國數學史家葛賓娜 (Judith Grabiner) 所說，我們教數學，不只是教數量推理，不只是教一種科學語言，更重要的是，經由對歐氏幾何的學習，學生去認識在西方思想佔有中心地位的數學，進而增加我們對人類文明的理解！筆者同意，這樣的理想的確不容易達成，但是，如果我們完全不教學生邏輯與證明，從來也不在數學或歷史課堂討論《幾何原本》，那麼，我們的學生所學到的幾何知識仍然是沒有知識結構系統的，而且，學生也無法感受到數學知識對人類文明的重要性，更失去一個瞭解西方文明的機會！所以，筆者認為，學習演繹推理方法，至少是與學習數學知識本身是一樣重要的，而且，我們若不認識西方文明中的歐幾里得，大概就難以理解「西方」本身了！

參考資料
1. Berlinghoff, William P. & Fernando Q. Gouvêa（洪萬生、英家銘暨HPM團隊譯）(2008)，《溫柔數學史：從古埃及到超級電腦》。台北：博雅書屋。
2. Grabiner, Judith V. (1988). “The Centrality of Mathematics in the History of Western Thought”, Mathematics Magazine (61)4, pp.220 – 230.
3. Heath, Thomas L. (1956). Euclid: Thirteen Books of The Elements. New York: Dover Publications, INC.
4. Lloyd, Geoffrey & Nathan Sivin (2002). The Way and the Word. Science and Medicine in Early China and Greece. New Haven: Yale University Press.
5. Martin, Thomas R. (2000). Ancient Greece. From Prehistoric to Hellenistic Times. New Haven: Yale University Press.
6. Wild, John (Ed.) (1930). Spinoza Selections. New York: Charles Scribner’s Sons.

(原文發表於《科學月刊》2008年3月號)