「道」與無理數

2003年時，研究古希臘科學的大師 Geoffrey Lloyd 與研究中國科學的大師 Nathan Sivin，合寫了一本 The Way and the Word，比較公元前四世紀至公元二世紀這段時間的希臘科學與中國科學。這本書的名字極為有趣，因為他們從古希臘與中國分別找了一個在語言上與哲學上似乎互相糾纏不清的兩個概念，古希臘的 "word" 與中國的 "way"。這兩個詞當然都是英文，而這兩個詞的來源，在中國就是「道」，在古希臘是「λόγος」，翻成中文，剛好也是「道」。

這兩個詞彙在各自文明的科學概念中，從兩位作者的角度來看，應該是佔有核心地位的詞彙，才會拿來當書名。我不敢說我瞭解多少中國的「道」，但是對於希臘文的「道」，倒是有些可以跟數學扯上關係的內容可以分享。

關於希臘文的「道」，一個有趣的聯想可以從聖經來說。如果我們看新約聖經約翰福音1章1節的希臘原文，英文欽定版 (King James Version)，以及中文和合本的話，我們會看到下面三句話：
希臘文原文：Ἐν ἀρχῇ ἦν ὁ λόγος, καὶ ὁ λόγος ἦν πρὸς τὸν θεόν, καὶ θεὸς ἦν ὁ λόγος. 
英文欽定版：In the beginning was the Word, and the Word was with God, and the Word was God.
中文和合本：太初有道、道與神同在、道就是神 。

很明顯地，希臘文的「λόγος」(直譯為 "logos")，在英文被翻譯成「word」，而中文用「道」來稱呼它。撇開深刻的神學意涵, 這個字在希臘文原文的意義，從字典跟一些文獻上看起來，大概是「話語」或是「可表達的事物」。古希臘各個哲學學派或哲學家，都很努力地將他們的思想用文字記錄下來，而「λόγος」這個字彙，也在哲學家的著作中出現，並且影響到現代人的語言。

跟「λόγος」能扯上關係的哲學家有好幾個，最早的大概是畢達哥拉斯 (Πυθαγόρας)。這位公元前六世紀至五世紀的哲學家，建立了一個神祕學派，被稱為畢氏學派。畢氏學派的其中一條教義是「萬物皆數」，也就是他們認為，萬事萬物都是由數組成的，而事物之間的關係也可以用數的比例來表示。畢氏學派努力在各樣的事物本質中尋找數目與比例，所以，「不可公度量」的發現或許是無可避免的。

對古希臘人而言，所謂「數」僅指我們現在所說的正整數。如上所述，畢氏學派相信所有事物的本質都可以化約到整數比。舉例來說，如果我們任給兩個同類量p、q，則他們認為一定可以找到一個量u，使得p、q皆為u的整數倍，換句話說，p、q可表成p = mu，q = nu，其中m、n為整數，所以這兩個量的比可以化約成整數比 m: n，因為原來這兩個量p、q可以用單位u量盡而沒有剩餘，所以它們是「可公度量的 (commensurable)」，也就是可以找到一個公共的單位來量它們。這樣的想法的確跟我們的直覺很接近，然而，畢式學派後來發現，如果給定的兩個量是正方形的一邊與它的對角線，那麼，我們就無法找到一個單位來共同度量它們，換言之，它們是「不可公度量的 (incommensurable)」。亞里斯多德曾提示其證明方法:

這個方法其實跟大家在國中學過證明根號2是無理數的方法是相同的。

畢氏學派原本所主張的「萬事萬物，都可以表徵成數目的比」，確實在某種程度上影響了希臘人的宇宙觀。比例的英文與拉丁文ratio一詞，就是源自希臘文 logos，意為「可表達的事物」。反之，如果兩個量無法公度量，它們就以一種「非比 (ir-ratio) 」的關係存在，那麼，任何可度量其中一個量的單位，勢必無法將另一個量表示為整數，這種情況古希臘人稱為 alogos (ἄλογος)，也就是「不能表達的事物」。此外，在現代我們將實數中可以表示為分數的數稱為有理數，比如3、1/2等；不能表示為分數的數稱為無理數，比如根號2。這兩個稱呼，亦即希臘文中「可表達的」(λόγος) 與「無法表達的」(ἄλογος)，後來英文語彙中，就轉化成為「理性的 (rational)」與「非理性的 (irrational)」兩形容詞。這就是有理數 (rational numbers) 與無理數 (irrational numbers) 兩個名詞的來源。無理數不是沒道理, 是無法用比例表達。

數學史家希斯 (Thomas L. Heath) 在他的《歐幾里得幾何原本十三冊》（Euclid: Thirteen Books of The Elements）中寫到，傳說中最早將不可公度量公諸於世的畢氏學派成員「在船難中喪生」。他還提到後世學者認為，寫下這個傳說的作者，或許是以寓言的方式說這個故事，暗示所有非理性的與無形式的事物都被隱藏起來，而如果有人輕率地闖入這個禁區且讓它顯明於世，那麼，此人就會被沖入變化的海洋，被它永不平息的潮流給淹沒（這個寓言真是詩意盎然！）。希斯認為讓所謂無理數的發現保持秘密，還有另一個理由。在當時，畢式學派的幾何學奠基於只能應用於整數比之上的比例理論，而『不可公度量』的曝光，會使他們的學術基礎動搖。

畢氏學派有關數的信仰，對古希臘文化造成了不小的影響，也在數論與幾何等領域，為人類留下了豐富的內容。然而，不可公度量的發現，對畢氏學派的成員無疑地是一記重擊，因為這徹底粉碎了他們最核心的宇宙觀。我在上課時也會請學生想像，如果有人能用我們接受的方法，「證明」我們心目中的神是不存在的，這對我們會是多麼大的打擊。也許我們會把它當成不可外揚的家醜，不擇手段地試圖隱藏它；又或許我們會正視它，嘗試尋找新的解釋來包容它，甚至將它發揚光大。無論如何，這對任何一個民族都不是簡單的事。

在畢氏學派之後興起的柏拉圖學派，提出了一套能處理不可公度量的比例理論，最後由歐幾里得總結於他的《幾何原本》中。他們的方法是將數與幾何量分開，「數」純粹指我們說的正整數，而幾何量才會有不可公度量的情況發生。所以，在畢氏學派之後的古希臘人，心目中的數仍只包含了正整數；他們的語彙中，仍以「非比」來表示無法表達的事物。或許可以從這些小地方，我們看出畢氏學派的宇宙觀，仍然深植於其後的古希臘文化。事實上，這種影響不只停留在古典時期。歐洲數學發展史中，畢式學派首先將數論與幾何合併起來，嘗試用數來詮釋幾何。但是，數論與幾何的結合在不可公度量的發現後被迫分開，從柏拉圖學派，歐式幾何一路到中古時代都是如此。直到文藝復興時期，才有數學家嘗試將它們整合，而這離不可公度量的發現，已度過十八個世紀了。

古希臘人留給了世人豐厚的學術遺產，而這也對他們的文化與其後的人類歷史帶來不可磨滅的影響。我們從數學看文化，無非是想提供讀者一個特殊但有意義的視角，來檢視每一個文化的獨到之處。在這裏我們看到的是，從一個國中的基礎數學概念，連結到古希臘人的「道」，也就是他們看待宇宙的其中一種方法。 數學中，其實處處有文化。