《古蘭經》中的數學遺產

今天的誠品日曆介紹的是哈濟生的《伊斯蘭文明》這本書，不過，這讓我想到伊斯蘭文明的重要根源《古蘭經》裡面，因為有提到遺產分配的法則，所以後續引發出一些數學問題，剛好可以放部落格分享。

《古蘭經》第四章婦女章裡面，有數節提到遺產分配的問題。列舉如下：

4:7 男子可獲父母和近戚們遺下的分額。女子可蕕父母和近戚們遺下的分額，無論多少——規定的分額。

4:8 有親屬關係者、孤兒、貧人，臨分到場的時候，你們要贈給他們一些；並對他們說好話。

4:11 安拉為你們的子女囑咐你們！一男獲若二女的分額。她們若是兩個以上的女子了，則獲他遺下的三分之二。若是僅她一人了，則獲半數。他的父母各獲他遺下的六分之一，如果他有子嗣的時候。他若無有子嗣，他的父母繼承他著，他母親獲得三分之一。如果他有弟兄，他母親獲得六分之一。這在用牠作遺囑或還付欠債以後。你們的父和子，你們不知哪是在利益上最近於你們的——由安拉規定的。安拉實是深知的，明哲的。

4:12 你們獲得妻室所遺的半數，若是她們無有子嗣的時候。如果她們有子嗣了，你們就獲得她們所遺的四分之一，在她們用牠作遺囑或還欠以後。她們獲得你們所遺的四分之一，若是你們無有子嗣的時候。如果你們有子嗣了，她們就獲得你們所遺的八分之一；在你們用牠作遺囑或還欠以後。如果被繼承的男子或女子，是一個上無父母，下無兒女的，在他有一弟（兄）或一姊（妹）他倆各獲所遺的六分之一。如果他們是多過這個的，他們就於三分之一上共同。這在用牠作遺囑或還欠以後，不得有妨害。安拉的囑告。安拉是深知的、仁厚的。

大家一定看得眼花撩亂。根據普遍接受的解釋，取重點來說：
(1) 財產遺可以贈予陌生人，但遺贈所得原則上不超過全部遺產的1/3為原則。
(2) 在扣除陌生人所得的遺產後，若死者留下未亡人與子女，則配偶可得遺產1/4，剩餘的3/4由兒子和女兒以2比1的比例分配。
(3) 當遇到兒子向父親借貸的情形，在分配上，這個兒子最差的情況就是拿不到遺產，即是以所得遺產與借貸的錢數抵銷，並不需向其他繼承人償還不足的金額。

這些原則就可以引出許多問題，被中世紀的數學家當成例題放在他們的著作中。比如在阿爾•花拉子模 (Al-Khowarizmi) 的著作中，有下面的問題：

一位婦女過世，留下丈夫、兒子和三個女兒，計算每一位繼承人各能分得的資產部分。

解答：丈夫取得 1/4，其餘 3/4 由兒子與三女以 2:1:1:1 來分配。子女的部分既然要分5部份 (2+1+1+1)，而父親取1/4，4與5的公倍數是20，所以丈夫得5/20，兒子取6/20，每個女兒分得3/20。

這題計算並不困難，大家也可以用簡單的代數做計算。另一個比較有趣的問題如下：

有一人過世，身後留下二子，並且要把資本的1/3遺贈給一位陌生人。而他共留下了10金幣以及對於其中一子10金幣的要求（即其中有一子欠父親10金幣）。

這題用現代數學來看有幾種不同的解法，各有巧妙不同。其中一種解法是這樣想。正常來說，兩個兒子與陌生人可以各得父親遺產的1/3，但是其中一子對父親的債務佔父親資產的一半，所以他的債務必然多於應得遺產。但是根據 (3)，他只需要還出能與他所得遺產抵銷的金額即可，不用再多還給其他繼承父親債權的人。所以，我們假設欠錢的兒子要還 x 金幣，所以父親能夠分配的遺產是 (10 + x) 金幣，每個人得到1/3，所以欠錢的兒子也得到這麼多，兩相抵銷。因此得到方程式 

(10 + x) * 1/3 = x

解方程式得 x = 5。

我第一次看到這個解法的時候也覺得很神奇，但這個問題的解釋方法不只一種。各位讀者可以自己想想看，順便體會伊斯蘭文明的風貌。

參考資料：蘇意雯 (2008) ，［可蘭經裡的遺產－代數學］，《當數學遇見文化》（臺北：三民書局）。