日本現存最古算額，竟然有1703次方程式！？

日本江戶時代算額奉納的作法，可能從17世紀中葉開始。然而，現存的算額之中，僅僅只有四面17世紀的算額，而且都在17世紀末。這四面之中，有兩面在京都，一面在山形，至於最古老的一面，就是被奉納於栃木県佐野市星宮神社的算額，時間是1683年。這面算額目前從神社出借，被展示於佐野市鄉土博物館。

栃木県佐野市星宮神社所藏算額（複製品）

這片算額在江戶末期已經稍有破損。到1975年因為神社發生火災，雖然沒有將算額燒毀，但表面炭化，上面的文字已經不容易看出。筆者在博物館隔著玻璃靠近觀看，仍然可以稍微看出上面的文字，但極不清楚。所幸在火災前，當地的中學老師與學生曾經將整面算額的內容抄錄下來，所以我們現在可以看到完整的複製品。從複製品中，我們可以看到上面的問題。第一題是體積與工程問題，第二題是和算中有名的「道明問題」，要問如何用一條L形的道路與一條線段將一個矩形地分成面積相等的三個區域。前兩題都是相對單純而且有實際應用的題目，但第三題就有趣了。東亞古代算學，2次方稱為「平方」，3次方是「立方」，4次方是「三乘方」，5次方是「四乘方」，所以「n 乘方」或「n 乘冪」就是「(n + 1) 次方」，而「開 n 乘方」就是要解一個 (n + 1) 次方程式。這題的圖形乍看之下不複雜，但是題目敘述中有「開六乘」、「八乘冪」、「開四乘」、「開三乘」 這些敘述，已經夠複雜了，到解法的最後，作者竟然宣稱要「一千七百○二乘方開之」，也就是要解一個1703次方程式！

栃木県佐野市星宮神社所藏算額

之前聽說和算家會去解超高次方程式，例如關孝和在《發微算法》中有一個問題最後列出1458次方程式。這次在算額上面看到出現更高次的方程式，真是令人驚訝。當然，算額上面並沒有詳細的計算過程，實際求方程式數值解的增乘開方法，在概念上並不困難，但當方程式次數很高的時候，計算就會變得很繁複而且曠日廢時。不知道作者花了幾個月才把這個超高次方程式的解計算出來？

後面第四題是第三題的類似題，但是只有問題沒有解法，也就是「遺題」，開放讀者挑戰。所以「遺題」的傳統不只是在和算書，也會在算額出現。這次到佐野開會，親眼看到日本現存最古老算額，以及上面1703次方程式及遺題，真是不虛此行！

栃木県佐野市星宮神社

栃木県在日本是相對鄉下的地區。如果大家有機會到栃木県佐野市，不妨到佐野市鄉土博物館與星宮神社看看。說不定你也可以看到這面日本最古老的算額！

栃木県足利市鑁阿寺所藏算額

室町幕府將軍家足利氏的先祖源義康，在12世紀中葉的時候，於下野國足利莊（今栃木県足利市）建立居館。12世紀末至13世紀中，足利氏在這裡建立佛寺（鑁阿寺）。而這裡也收藏有兩面19世紀的算額。

鑁阿寺（足利氏館）正門

鑁阿寺本堂

第一面算額是江戶時代末期，1848年由最上流増田善右衛門與其門人奉納，但保存狀態不佳，上面的文字已經難以閱讀，只有圖形還能稍微辨識。

1848年最上流増田善右衛門與其門人奉納算額

（圖片來源：www.wasan.jp）

第二面算額是在明治時代，1884年由關流石原清右衛門與其門人奉納。這面算額中有三個題目，筆者過去在算額專書中讀過中間的第二題。這個題目中有上、下、左、右四個正方形互相以頂點外接，而且下、左、右三個正方形的其中一個頂點共線。題目只給定上方正方形的邊長，問下面正方形的邊長。這個問題若以歐式幾何的方法來解，需要畫很多條輔助線。要自己把那些輔助線想出來，真是十分困難的事情，筆者也是看解答才會做。

1884年關流石原清右衛門與其門人奉納算額
（圖片來源：www.wasan.jp）

鑁阿寺的算額平常沒有公開展示，但是這座被列入日本百大名城的寺院，竟然也收藏有算額，很令人意外。

參考資料：群馬縣和算研究會

東京渋谷金王八幡宮與其所藏算額

在東京都渋谷區，距離渋谷站步行不到10分鐘的路程，有一座金王八幡宮神社，我在2014年8月曾經造訪過這裡。這座神社在江戶時代為將軍家所信奉，特別在1612年，三代將軍德川家光的乳母春日局為其建造社殿與神門，所以我們到這裡可以看到江戶初期的建築。

金王八幡宮不算是太有名的神社，但是這裡收藏了三面「算額」。所謂「算額」，就是江戶時代的數學家，把他們的數學研究成果製成類似匾額的形式，奉納到神社或寺院，以感謝神佛的恩賜，也是一種公開發表研究成果的方式。金王八幡宮收藏的三面算額中，有一面扇子形狀的算額，是十分特別的，因為日本現存江戶時代的算額中，絕大多數都是長方形。所以這幅扇子形的算額，是極為少見的。

圖片來源：維基百科

這幅算額上我們可以看到有一個數學問題與一個附圖，圖中是一張桌子與其上三顆球。乍看之下可能是立體幾何的問題。以下是算額上的文字。

如圖中圓徑九寸小圓徑四寸大圓径幾何問

答三十六寸

術曰置中圓径除小圓徑開平方内減一箇自之以除中圓径得大徑合問

關流水野與七郎門人 野口冨太郎 源貞則 元治甲子年十一月吉日

我們可以看出，這是幕末的1864年（元治元年），由關流（江戶初期算聖關孝和所建立的算學流派）水野興七郎的學生野口冨太郎、源貞則所奉納。仔細查考上面的問題與術文，我們可以看出，這其實是一題頗為基本的平面幾何問題。如下圖，大圓、中圓、小圓互相外切，且同時與一直線相切，已知中圓與小圓的直徑，求大圓的直徑。

要求出大圓的直徑，關鍵是要先知道圓外公切線段長與直徑之間的關係。以這一題來說，我們要先證明這個引理：若兩圓外切，則兩圓之外公切線段長就是兩圓直徑乘積再開平方。這個命題是以國中數學就能證明的命題，各位讀者可以自行嘗試證明。

上面的引理其實是江戶時代和算家常用的命題。有了這個引理，我們就可以來解上面的問題。設大圓、中圓、小圓的直徑分別為 x、y、z:

算額是不是很有趣呢？全日本各地的神社與寺院收藏了約一千枚算額。下次各位造訪日本神社或寺院時，或許可以注意看看，可能你也會找到算額，並且體會不一樣的江戶文化！

參考資料：群馬和算研究會「東京渋谷の金王神社の算額算額写真（全問題と解法例）」