栃木県足利市鑁阿寺所藏算額

室町幕府將軍家足利氏的先祖源義康，在12世紀中葉的時候，於下野國足利莊（今栃木県足利市）建立居館。12世紀末至13世紀中，足利氏在這裡建立佛寺（鑁阿寺）。而這裡也收藏有兩面19世紀的算額。

鑁阿寺（足利氏館）正門

鑁阿寺本堂

第一面算額是江戶時代末期，1848年由最上流増田善右衛門與其門人奉納，但保存狀態不佳，上面的文字已經難以閱讀，只有圖形還能稍微辨識。

1848年最上流増田善右衛門與其門人奉納算額

（圖片來源：www.wasan.jp）

第二面算額是在明治時代，1884年由關流石原清右衛門與其門人奉納。這面算額中有三個題目，筆者過去在算額專書中讀過中間的第二題。這個題目中有上、下、左、右四個正方形互相以頂點外接，而且下、左、右三個正方形的其中一個頂點共線。題目只給定上方正方形的邊長，問下面正方形的邊長。這個問題若以歐式幾何的方法來解，需要畫很多條輔助線。要自己把那些輔助線想出來，真是十分困難的事情，筆者也是看解答才會做。

1884年關流石原清右衛門與其門人奉納算額
（圖片來源：www.wasan.jp）

鑁阿寺的算額平常沒有公開展示，但是這座被列入日本百大名城的寺院，竟然也收藏有算額，很令人意外。

參考資料：群馬縣和算研究會

東京渋谷金王八幡宮與其所藏算額

在東京都渋谷區，距離渋谷站步行不到10分鐘的路程，有一座金王八幡宮神社，我在2014年8月曾經造訪過這裡。這座神社在江戶時代為將軍家所信奉，特別在1612年，三代將軍德川家光的乳母春日局為其建造社殿與神門，所以我們到這裡可以看到江戶初期的建築。

金王八幡宮不算是太有名的神社，但是這裡收藏了三面「算額」。所謂「算額」，就是江戶時代的數學家，把他們的數學研究成果製成類似匾額的形式，奉納到神社或寺院，以感謝神佛的恩賜，也是一種公開發表研究成果的方式。金王八幡宮收藏的三面算額中，有一面扇子形狀的算額，是十分特別的，因為日本現存江戶時代的算額中，絕大多數都是長方形。所以這幅扇子形的算額，是極為少見的。

圖片來源：維基百科

這幅算額上我們可以看到有一個數學問題與一個附圖，圖中是一張桌子與其上三顆球。乍看之下可能是立體幾何的問題。以下是算額上的文字。

如圖中圓徑九寸小圓徑四寸大圓径幾何問

答三十六寸

術曰置中圓径除小圓徑開平方内減一箇自之以除中圓径得大徑合問

關流水野與七郎門人 野口冨太郎 源貞則 元治甲子年十一月吉日

我們可以看出，這是幕末的1864年（元治元年），由關流（江戶初期算聖關孝和所建立的算學流派）水野興七郎的學生野口冨太郎、源貞則所奉納。仔細查考上面的問題與術文，我們可以看出，這其實是一題頗為基本的平面幾何問題。如下圖，大圓、中圓、小圓互相外切，且同時與一直線相切，已知中圓與小圓的直徑，求大圓的直徑。

要求出大圓的直徑，關鍵是要先知道圓外公切線段長與直徑之間的關係。以這一題來說，我們要先證明這個引理：若兩圓外切，則兩圓之外公切線段長就是兩圓直徑乘積再開平方。這個命題是以國中數學就能證明的命題，各位讀者可以自行嘗試證明。

上面的引理其實是江戶時代和算家常用的命題。有了這個引理，我們就可以來解上面的問題。設大圓、中圓、小圓的直徑分別為 x、y、z:

算額是不是很有趣呢？全日本各地的神社與寺院收藏了約一千枚算額。下次各位造訪日本神社或寺院時，或許可以注意看看，可能你也會找到算額，並且體會不一樣的江戶文化！

參考資料：群馬和算研究會「東京渋谷の金王神社の算額算額写真（全問題と解法例）」

從算學文化在古代東北亞的傳播看百濟與倭國的堅定友誼

百濟（公元前一世紀？-668年）跟被稱為倭國的古代日本，真的是好朋友，從算學的傳播也看得出來。

六至八世紀對於東亞大陸、韓半島與日本列島的歷史是十分有趣的時代。六世紀前半，大和朝廷因為「任那」，也就是倭國在半島上的據點，與新羅起衝突。百濟則因為與新羅、高句麗在半島上的競合，與倭國保持良好關係，而倭國也需要這個半島上的盟友。在六世紀中葉，大致是倭國的欽明大王（當時大和朝廷的君主還稱為「大王」）在位時期前後，佛教從百濟傳入日本。而根據《日本書記》記載，在同一個時代，大約是前一篇文章提到的百濟聖王在位時，百濟也把從南朝輸入的醫學與曆算等技術知識輸出到日本列島。

佛教的傳入對於倭國來說是重要的事件。大和朝廷在那個年代，希望藉由佛教這種普世性的宗教，對外從國際社會輸入先進的科技與文明，對內則嘗試將古代倭國基於氏族與的社會，轉變為中央集權的國家。這種重大的轉變不免伴隨權力鬥爭、暗殺與政變。在這個過程中，日本正史首位女性君主推古女王（593年-628年在位）與後來被稱為「聖德太子」的厩戸王子（572年-621年）被推上了第一線的政治舞台。

聖德太子主政時代的改革十分有名，而在國際舞台，根據《隋書》記載，公元607年，倭國的遣隋使小野妹子（雖然名叫「妹子」，但他是男人）向隋煬帝遞交的國書中，有「日出處天子致書日沒處天子無恙」這麼一句話，讓隋煬帝感到很不開心。這句話表達倭國與黃河流域帝國平等的地位，但是也凸顯倭國國際經驗的不足。很多時候，倭國與國際社會的交往，還是要靠比較有外交手腕的百濟才可以。

在大和朝廷內外都很有事的年代，天文曆算再度隨著百濟出現在倭國的歷史。《日本書記》提到，在推古朝的公元602年，「百濟僧觀勒來之。仍貢暦本及天文地理書。并遁甲方術之書也。是時選書生三四人。以俾學習於觀勒矣。」觀勒這位百濟僧人，不但帶來曆書與天文地理書，還開班授課，成為日本正史記錄中最早的曆算教學者。

七世紀中葉，倭國內部的權力鬥爭把另外兩位王子，後來都登基成為大和朝廷君王的中大兄王子與大海人王子推上政治舞台。645年，中大兄王子政變，進行有名的「大化革新」，繼續推動中國風的中央集權國家改革。中大兄執政時期，七世紀50至60年代，東亞世界打了一場世界大戰，最後的結果是，高句麗與倭國的好朋友百濟被滅亡！

倭國自古就有從百濟「移民」的「渡來人」社群，而660年百濟滅亡之後，更多的百濟「遺民」移住列島，帶來半島與大陸上的科技。661年，齊明大王死去，中大兄稱制，668年，中大兄登基，是為天智大王，但僅在位不到四年。不過在中大兄/天智掌權的時代，或許是在渡來人的協助下，倭國首度設立「算博士」，並有算生20人，是日本算學教育制度化的濫觴。

位於京都市山科區的天智天皇陵

（圖片來源：https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%A1%E5%BB%9F%E9%87%8E%E5%8F%A4%E5%A2%B3#/media/File:Gobyounokohun.jpg）

倭國在七世紀的那場世界大戰中，支援百濟損傷不少，戰後為了防止唐帝國侵略所構築的防禦工事，以及為了徵兵所進行的戶籍整備，都為倭國造成極大負擔。天智死後，他的弟弟大海人王子發動奪權戰爭，後登基為天武天皇（天武被認為是最早使用天皇稱號的其中一個可能）。天武天皇採取和平主義，與唐帝國及統一韓半島的新羅正常往來，並深化學習律令制度，進行文化建設，包含建立瞻星臺，進行天文觀測。

時間進入八世紀，在七世紀初期律令制度的基礎之上，文武天皇於701年施行《大寶律令》，成為本格「律令國家」，並對外使用「日本」國號。這個時候文武天皇更設置天文博士、曆博士，及天文生、曆生各十人，算生三十人，是古代日本算學教育開始興盛的時期。後來的八世紀故事大家都知道，《養老律令》中的教育制度，被拿來與新羅及唐帝國的國家教育制度比較，可以參考這裡。不過日本並沒有如唐帝國一樣施行科舉制度，所以算學的技術在平安時代變成被幾個家族獨佔，但這是後話。

早期日本列島上的大和朝廷，無論是輸入佛教或者是科技文明，都與百濟脫不了關係。之前只寫過新羅與日本的比較，現在用這篇文章補上百濟國與渡來人的貢獻，跟大家分享。

參考資料：
《日本書記》
網野善彥（1997），《日本社會の歷史》，東京：岩波書店。
遠藤利貞（1918），《日本數學史》，帝國學士院藏版，東京：岩波書店。
吉川真司（2011），《飛鳥の都》，東京：岩波書店。
蔡亦竹（2016），《表裏日本》，新北：遠足文化。
Keller, A. and Volkov, A. (2014). “Mathematics Education in Oriental Antiquity and Middle Ages”. In A. Karp and G. Schubring (eds.), Handbook on the History of Mathematics Education. New York: Springer Science+Business Media.

古代韓半島算學研究的專業化：「筭博士」竟然早於「國學諸業博士」？

東北亞的遼東半島、松花江流域與韓半島上的諸部落，從公元前一世紀前後，就開始與漢帝國有許多交往的紀錄。從前一世紀至七世紀，半島上主要有三個王國：高句麗、百濟與新羅。這三個國家在不同時間輸入黃河與長江流域的帝國文明，例如儒家經典，以及佛教這個普世性宗教。除了儒家經典與佛教，帝國文明中的技術性學問，例如天文曆算，也會傳入半島上的三個王國。

關於儒家經典與技術性的學問在韓半島上的紀錄，可以追溯至六世紀初期的百濟武寧王（502年—523年在位），當時百濟已經設有「五經博士」這個官職，而武寧王的繼任者聖王（523年 - 554年在位），則有「曆博士」、「醫博士」與「易博士」等技術官僚。這些專業，不止從南朝輸入，也向與百濟友好的倭國輸出。

位於韓國公州的武寧王陵

（圖片來源：https://commons.wikimedia.org/wiki/File:MuryeongsTomb.jpg）

韓半島上的高句麗與百濟，在七世紀中葉之後，因為新羅與唐帝國的競合而滅亡，最後半島上大部分的領土被新羅所統治，史稱「統一新羅」。統一新羅的君王繼續輸入黃河流域的帝國文明，包含國家的教育制度及舉世聞名的「科舉」。公元682年，新羅神文王設立「國學」，作為國家級的教育機構。有趣的是，如果我們考察新羅史料中關於「算博士」的紀錄，我們會發現一些意想不到的事情。

根據《三國史記》的記載，公元717年，新羅設立「醫博士」與「筭博士」，但是到公元747年，新羅才設立「國學諸業博士」，而「天文博士」與「漏刻博士」更是到749年才設立。可見，新羅的國學雖然在682年就成立，但是各個學科的專業職位，並非立即出現，而「筭博士」就是較早設置的其中一個職位，所以在新羅國學的歷史中，算學是較早專業化的一個技術學科，這也可以看出新羅對於算學的重視。

當然，「筭博士」設立早於「國學諸業博士」，並不表示新羅對於算學的重視高於儒家經典。事實上，國學設立之初，就有博士在教授《周易》、《尙書》、《毛詩》、《禮記》、《春秋左氏傳》等經典，新羅只是一直沒有設置如百濟那樣「五經博士」的官職，而「國學諸業博士」比起「筭博士」稍晚設立而已。另外，新羅對於儒家經典的重視，也可以在其他地方看出。例如，新羅國學中的學生，「若能兼通五經、三史、諸子百家書者，超擢用之」，算學的學生相對來說，就沒有這樣的禮遇。

新羅國學中的算學教材內容，在「古代東亞的算學教育制度」這篇部落格文章我有略微介紹，不過其中部分的教科書已經失傳，我們只能猜測內容。古代東北亞數學史與數學文化，其實還有許多有趣的內容，未來我會慢慢寫成部落格文章向大家介紹。

參考資料：
《三國史記》

《日本書記》

Wong, Joseph. 1979. The government schools in T’ang China and Nara and Heian Japan: A comparative study . (An unpublished thesis submitted for the degree of Master of Arts). Canberra: Australian National University

岐阜縣大垣市明星輪寺收藏算額

岐阜縣大垣市明星輪寺收藏了一幅相當大的算額，而且上面還有記載女性的學生！

明星輪寺收藏的這幅算額，如下圖所示，是相對來說頗大的算額，長度超過兩公尺，上面有十二道算題與解答。這幅算額是關流淺野孝光門人共二十八人在幕末的1865年奉納。這幅算額除了相對來說是很大的算額之外，還有一些在其他算額比較少見的特點。

第一個有趣的特點是下圖的第一題，這個題目是關於一個扇子的形狀中內切五個大小不同的圓形。我們比較常看到的算額題目是多邊形內切或外接圓，但是這題是用一個扇子的形狀來內切數個圓。

另一個特點是這個算額上記載了至少兩個由女性所解答的問題，例如下面的第三題，是由一位河合澤的女兒所解答的問題，而且下面註明她只有16歲。

另外是第六題，是由奧田津的女兒所解答。

最左邊的題目後面，也記載了一位女性。另外，這一題圖上畫的是真實的物品，數學問題是關於「穿去積」的問題，也就是用一個平面圖形或立體穿過另一個立體，問剩餘體積的問題。算額上面用實際生活中的問品或者問體積的問題都是比較少見的問題。

岐阜縣大垣市也不是觀光客常造訪之處。如果你剛好有機會路過這裡，不妨搜尋一下明星輪寺。到這裡之後，可以詢問一下這裡的神職人員。或許你也可以觀賞這片有趣的算額。

愛知縣岡崎市六所神社算額

位於愛知縣岡崎市的六所神社，是德川家康祖父松平清康在十六世紀初所設立。江戶幕府初代將軍德川家康就出生在神社附近的岡崎城中，所以六所神社後來作為德川家康的產土神（有點像土地公）而在江戶時代被重視，因而維持至今。現在仍然是當地祈求順利生產的名所。

之前在網路上查到這裡有算額，但不確定有沒有公開。過去我曾到四處寺社看算額，但都是公開展示或者有日本前輩幫忙詢問。算額通常都是江戶時代的古物，公開展示容易損壞，而且其實不會吸引參拜者或增加觀光客，所以很多寺社都把算額收藏起來。這次是我自己去沒人帶，到了神社之後發現果然沒有公開展示古代算額，但是戶外有放一塊現代人奉納的算額，所以我想這裡應該的確是跟算額有淵源的地方。猶豫數分鐘之後，我鼓起勇氣用蹩腳的日語詢問在場唯一的工作人員，我說我是來自臺灣的數學史學者，聽說這裡有收藏算額，不知是否可讓我拜見。結果她真的帶我到會議室把算額拿出來給我看！真是感動！下面是算額的照片。

這幅算額是1779年由關流第七代齋藤土吉門人所奉納。下面是算額的摹寫，由深川英俊老師製作。

從這份摹寫可以看出，算額上的問題主要跟句股形以及二次方程式有關。下圖為第一題的現代日文翻譯，以關流的水準來說是一個簡單的二次方程問題。

如果神社外面沒有掛上現代人奉納的算額，搞不好我沒有勇氣去詢問那幅古代的算額，所以也要感謝在21世紀還在奉納算額的「愛知私學數學教科懇談會」。下圖是公開展示的現代算額，奉納於2012年。

在11月紀念「十月革命」

2017年11月7日是俄國十月革命百年紀念，沒有舉世歡騰，似乎連俄羅斯本身的紀念都不盛大。1917年的「二月革命」與「十月革命」，終結了沙皇與貴族統治，接續建立起布爾什維克領導的政府，後來的俄國被認為是由馬克思主義政黨領導的第一個社會主義國家。可是發生在11月的革命為什麼被稱為「十月革命」呢？

《布爾什維克》（1920），庫斯妥迪耶夫所繪。

資料來源：維基百科

答案很簡單，因為當時在俄國就是「十月」。古代歐洲使用的曆法是凱薩留下的「儒略曆」(Julian Calendar)，到16世紀時因為誤差累積過大，加上天文學理論與觀測技術的進步，所以當時的羅馬教廷在1582年改用「格里曆」(Gregory Calendar)，也就是現在的公曆，主要是調整日期且置閏方法不同。16世紀改曆當時只有天主教國家採用，新教國家大多到18世紀才採用。到俄國革命的1917年，亞洲的中華民國與日本在官方曆法都已經不用東亞農曆而改用格里曆，但信奉東正教的俄羅斯當時還使用儒略曆，兩個曆法到20世紀有十來天的差距。十月革命當時的俄羅斯是10月25日，所以被稱為「十月革命」。

儒略曆的遺緒，到今日仍然存在。基督教有名的復活節日期計算法 (Computus) 中，新教與天主教根據格里曆，但東正教仍使用儒略曆，所以常常會有西方教會與東方教會在不同日子過復活節的情形。

十月革命百年，但從我們外國人的眼光來看，普丁這位21世紀唯一的俄國最高權力者，其權力集中程度不下於沙皇。至於俄羅斯人民的生活有沒有比一百年前好，那就要請教俄國人民了，如果他們可以自由表達意見的話。

閒聊時區

最近臺灣有人倡議將時區從 GMT+8 改為 GMT+9，引起許多討論。

東亞時區圖

（圖片來源：https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/88/World_Time_Zones_Map.png）

這個問題可以用政治談也可以不用政治談。不用政治角度看，其實該談的是中國本土與臺灣總共跨越 GMT+6, +7, +8, +9 共四個時區，如同美國本土一樣，但是所有人都用北京的 +8，臺灣還稱之為中原標準時間。其實對於黑龍江與新疆、西藏的朋友們來說，每天他們看到太陽升起與落下的時間跟這個世界同緯度的大多數人不太一樣，他們的「中午」的時間當然也會怪怪的。中國是地球上唯一使用單一時區的「大國」，連北邊的蒙古都使用兩個時區。不過中國什麼事情都認為自己是例外，臺灣也不覺得時區有需要改。

換個角度，其實我覺得時區是有政治意涵的概念，特別在東亞。因為「自古以來」在天朝的影響力範圍內，四夷都要「奉正朔」，也就是使用天朝的曆法。古代曆法比較沒有時區的概念，但是這個概念在現代似乎已經延伸到了時區。君不見全中國都要奉北京 +8 時區的標準！而臺灣也是天朝影響力所及，當然 要使用 +8。事實上，以經度來看，臺北位於東經121度，比起北京116度跟南京的118度更接近 GMT+8 的中線120度。所以是南北兩京奉臺北正朔的感覺？(鬼扯啦~) 我猜這個連署的支持者與反對者都會用生活理由來包裝政治理由。贊成者會說臺灣可以節約日光，而且與生活方式較接近的日、韓同時區會更方便; 反對者會用同樣的理由說海峽兩岸經貿人員往來頻繁，所以不該換時區，我猜。

如果問我的意見，我覺得中國應該分為四個時區 (誰問你的意見了？)。而林北係臺灣人不奉北京、南京或東京正朔，只奉臺北正朔，就維持 +8。倒是我們可以考慮像歐洲有日光節約時間的概念，臺灣過去也曾實施，夏天時間調快一小時，早點起床工作，然後下班的時候天還是亮的 (這點要改的好像是業界的血汗不是時區 XD)...