文藝復興時代的數學與禮物交換

文藝復興時代，除了帶給人類許多輝煌燦爛的藝術作品，當時的學者在科學與數學上，也有很多突破。比如伽利略的貢獻，可參閱拙文 伽利略的禮物交換。

說到禮物交換，這是文藝復興時代科學發展的面貌之一。下面關於數學家社會地位與禮物交換的故事，可以讓讀者瞭解這個有趣的社會行為。（原文發表於《當數學遇見文化》一書，本網誌摘錄部分內容）。

在十五世紀末期至十六世紀的義大利，數學從業人員的社會階層可大致分為三類。第一類是簿記員、土地測量技師和工程石匠，他們從計算師傅那裡學習到數學並將之應用。這些屬於「計算文化」的數學從業人員社會地位，遠低於第二類的占星醫學士。他們在大學接受過博雅教育 (liberal arts) 與醫學院的訓練，學習內容除了我們現代人觀念中的醫學之外，還包含了幾何學與占星學。他們是社會中的菁英份子。在大學任教的占星家經常會被要求編集城鎮的年度天宮圖，這是城鎮中的大事。至於第一類的基礎算術的教師，則時常被雇用為城鎮的公務測量員。所以，在當時，所謂「地上的」以及「天上的」數學從業人員之間的社會專業地位，存在著相當大的差距。第三類數學從業人員，是宮廷數學家。套句流行用語，他們是「金字塔頂端」的數學家。十六世紀專制主義在義大利半島大幅盛行，封建領主被賦予幾乎絕對的權力。因此，被封建領主封為廷臣的數學家或科學家，不但待遇優渥，而且他們所提出的學說也會被認為是權威。換言之，他們可以說是菁英中的菁英。

既然當時的數學從業人員之間，有著巨大的社會地位差距，所以，地位的提升對他們必然有極大的誘因。但是，地位的提升從古至今都不是一件簡單的事，而當時的數學從業人員提升社會地位的方法，常常是透過禮物交換以尋求贊助。

在文藝復興時代的歐洲，想成為一位有社會地位的科學家或數學家，除了要有機會受到良好教育，還要設法得到崇高的專業地位，這常常就需要有贊助者的支持。在新科學獲得近代科學社群的社會組織（譬如1662年成立的倫敦皇家學會）的支持之前，皇室或統治者對科學家與數學家的贊助，是支持學術研究的一股重要力量。運用「禮物交換」的手段，以換取得到贊助的機會，或是被引薦至社會地位更高的工作，是當時的科學與數學從業人員經常使用的方法。送禮與回禮，是一個社群的成員取得或保持地位和權力的過程。送禮對一位尋求贊助的人，是最好的投資，因為贊助者必須要根據自己的地位（而不是送禮者的地位）來回禮。我們這裡所說的「禮物」，通常不是與財富相關的物品，而常常是一些創新發明或發現。一個科學家或數學家的專業可信度，與他的社會地位相關，而提高社會地位的重要手段，則主要是透過禮物交換。下面，我們就要從這樣的脈絡來看三次方程式的歷史公案。

古巴比倫人能夠解一些問題，所需的方法相當於現今的二次方程式。九世紀的阿爾．花剌子模 (Mohammed ibn Mûsâ al-Khowârizmî) 在他的著作中，系統地介紹二次方程式的解法。到了十四、十五世紀，義大利專門教授商人子弟的「計算學校」所運用的講義，為我們提供了證據，顯示當時的計算師傅嘗試去解某些特殊的三次、四次，甚至高次的方程式。人們尋找三次以上方程式的解法，不只是為了求知，同時，也是為了解決在日益興盛的商業活動中所遇到的問題，比如求複利計算的利率。然而，一直到十五世紀末，有關三次方程式的一般解法，卻仍然未被找到。

在16世紀初，波隆那大學 (Bologna) 的數學教授費羅 (Scipione del Ferro) 找到了某一類三次方程式的解法。他並沒有發表這個解法，因為當時的學術環境與現今不同。大學教授沒有終身職，教授的工作必須定期重聘，而當有兩人爭取同一職位時，他們必須互相向對方提出問題，且在公開論壇中發表解答，勝者才能得到聘任。所以，將自己的發現保密，才能讓他保持優勢。在費羅去世前，他把解法透露給他的學生費奧 (Antonio Maria Fior) 以及女婿兼大學教職繼承人納維 (Annibale della Nave)。雖然這兩人都未公開解法，但在義大利數學家之間，耳語已開始流傳，說這個從十四世紀起困擾他們至少兩百年的問題，可能快要被解決了。在此同時，另一位數學家，來自布瑞思齊亞 (Brescia) 的塔達里亞 (Niccolò Tartaglia) 也宣稱他解決了某種形式的三次方程式。這個來自鄉下的教師竟然宣稱能使用大學中某門派的不傳之秘，士可忍孰不可忍，1535年，費奧向塔達里亞公開挑戰。費奧給出的題目，全部都是原來費羅解出的那一類題目。根據塔達里亞自己的說法，他是在比賽開始數日前才找出這種方程式的解法。至於塔達里亞提出給費奧的問題，除了有兩種不同形式的三次方程式之外，也包含了一些涉及其他數學分支的問題。最後，因為費奧無法解決許多塔達里亞給出的問題，於是，塔達里亞被認定為這場挑戰的優勝者。

這場比賽的結果，傳到米蘭的數學教師兼醫師的卡丹諾 (Girolamo Cardano)耳中。卡丹諾就寫信給塔達里亞，希望他透露解法。塔達里亞一開始拒絕，但卡丹諾一再懇求，保證絕不洩漏這項秘密，加上卡丹諾暗示自己能引薦塔達里亞與他有關火砲的發明給米蘭的宮廷，塔達里亞終於答應。他將這種解法寫成含糊的詩體形式交給卡丹諾。後來，卡丹諾從這個解法出發，不但想出了正確的公式與證明，同時，也將其他形式的三次方程式一併解出。

1542年，卡丹諾和他的學生費拉里 (Ludovico Ferrari) 到波隆那訪問納維，在那裡確知了費羅的方法與塔達里亞的是一樣的，卡丹諾就認為他對塔達里亞已無道德承擔，畢竟，如果他將解法出版，他是出版費羅的解法，而非塔達里亞的解法。1545年，卡丹諾出版《大技術》(Ars Magna)，在其中有系統地寫出各種三次方程式的解法，當然也包含塔達里亞與費羅所解出的形式。

塔達里亞為了對這種狀況提出抗議，在《大技術》出版後一年，他也出版了一本著作，在其中他公開自己的解法，並大力抨擊卡丹諾。一般認為，塔達里亞抗議的理由，是因為卡丹諾不守承諾將解法公諸於世。然而，從禮物交換的邏輯來看，我們相信這不是唯一的原因。另一個重要的原因是，塔達里亞認為自己的榮譽被卡丹諾玷污，因為卡丹諾接受三次方程式之解為禮物，卻沒有『禮尚往來』，盡力將塔達里亞引薦至米蘭的宮廷作為回禮。塔達里亞「賠了夫人又折兵」，不但將解法送人，也無法提升自己的地位。於是，他決定運用別的方法來達到目的。

1547年，塔達里亞向卡丹諾提出「數學挑戰書」(cartello di matematica disfida)，希望藉由打敗卡丹諾，以恢復自己的榮譽與提升地位。可是，當時卡丹諾是大學理論醫學的教授，已躋身於醫界精英中並頗有名聲；塔達里亞只是實用算術和幾何的大眾教師，兩者的社會背景天差地遠。所以，卡丹諾並未接受這個來自「低下階層」的挑戰，而將這個挑戰交給身為他的學生與被贊助者、身分較低的費拉里。這個舉動，不止是要使挑戰的雙方「門當戶對」，它還能用來侮辱對手。而費拉里在他對塔達里亞第一次回應的挑戰書中也寫到，他作為被贊助者，有義務維護他的贊助者的榮譽：「我決定要將你的欺騙，或是說惡劣本質公諸於世，不只是要維護真理，同時也因卡丹諾閣下受限於自身地位，我作為被贊助者有義務挺身而出」。

對塔達里亞來說，與費拉里比賽毫無意義，因為打敗這個無名小卒不會讓他的地位提升，但他為了把卡丹諾拖下水，所以仍回信給費拉里。雙方在一年間數次以侮辱性的書信回應對方，但比賽始終無法成局。1548年，塔達里亞在家鄉找到一個薪水豐厚的講師職缺，但他被要求在比賽中證明他的實力，所以他接受了費拉里的挑戰，到米蘭與費拉里比賽。

費拉里本身也是一位優秀的數學家，在《大技術》的結尾，也提到費拉里如何成功地對四次方程式求解。塔達里亞與費拉里的「決鬥」最後是由費拉里獲勝。比賽失敗的結果，讓他必須回到威尼斯繼續原有的數學教師工作，塔達里亞終於無緣晉身菁英階層。

從專業學問來看，費羅、卡丹諾、塔達里亞、費拉里等人都是可敬的數學家。然而，在這個比電影更戲劇化的的三次方程歷史公案中，每一位演出者心中所在乎的不只是數學真理，更重要的是，在當時的社會環境中所重視的榮譽，以及提升社會地位所帶來背後巨大的利益。在任何一個時代，數學家都是有血有肉的人，他們一定會與社會做互動。而在上述這些數學家的互動，給了我們一個有趣的圖像，讓我們更清楚了解文藝復興時代的社會文化與數學家的生活。