Sunday, 5 August 2018

東京渋谷金王八幡宮與其所藏算額

在東京都渋谷區,距離渋谷站步行不到10分鐘的路程,有一座金王八幡宮神社,我在2014年8月曾經造訪過這裡。這座神社在江戶時代為將軍家所信奉,特別在1612年,三代將軍德川家光的乳母春日局為其建造社殿與神門,所以我們到這裡可以看到江戶初期的建築。


金王八幡宮不算是太有名的神社,但是這裡收藏了三面「算額」。所謂「算額」,就是江戶時代的數學家,把他們的數學研究成果製成類似匾額的形式,奉納到神社或寺院,以感謝神佛的恩賜,也是一種公開發表研究成果的方式。金王八幡宮收藏的三面算額中,有一面扇子形狀的算額,是十分特別的,因為日本現存江戶時代的算額中,絕大多數都是長方形。所以這幅扇子形的算額,是極為少見的。

圖片來源:維基百科

這幅算額上我們可以看到有一個數學問題與一個附圖,圖中是一張桌子與其上三顆球。乍看之下可能是立體幾何的問題。以下是算額上的文字。

如圖中圓徑九寸小圓徑四寸大圓径幾何問
答三十六寸
術曰置中圓径除小圓徑開平方内減一箇自之以除中圓径得大徑合問
關流水野興七郎門人 野口冨太郎 源貞則 元治甲子年十一月吉日

我們可以看出,這是幕末的1864年(元治元年),由關流(江戶初期算聖關孝和所建立的算學流派)水野興七郎的學生野口冨太郎、源貞則所奉納。仔細查考上面的問題與術文,我們可以看出,這其實是一題頗為基本的平面幾何問題。如下圖,大圓、中圓、小圓互相外切,且同時與一直線相切,已知中圓與小圓的直徑,求大圓的直徑。

要求出大圓的直徑,關鍵是要先知道圓外公切線段長與直徑之間的關係。以這一題來說,我們要先證明這個引理:若兩圓外切,則兩圓之外公切線段長就是兩圓直徑乘積再開平方。這個命題是以國中數學就能證明的命題,各位讀者可以自行嘗試證明。


上面的引理其實是江戶時代和算家常用的命題。有了這個引理,我們就可以來解上面的問題。設大圓、中圓、小圓的直徑分別為 xyz:


算額是不是很有趣呢?全日本各地的神社與寺院收藏了約一千枚算額。下次各位造訪日本神社或寺院時,或許可以注意看看,可能你也會找到算額,並且體會不一樣的江戶文化!


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