東京渋谷金王八幡宮與其所藏算額

在東京都渋谷區，距離渋谷站步行不到10分鐘的路程，有一座金王八幡宮神社，我在2014年8月曾經造訪過這裡。這座神社在江戶時代為將軍家所信奉，特別在1612年，三代將軍德川家光的乳母春日局為其建造社殿與神門，所以我們到這裡可以看到江戶初期的建築。

金王八幡宮不算是太有名的神社，但是這裡收藏了三面「算額」。所謂「算額」，就是江戶時代的數學家，把他們的數學研究成果製成類似匾額的形式，奉納到神社或寺院，以感謝神佛的恩賜，也是一種公開發表研究成果的方式。金王八幡宮收藏的三面算額中，有一面扇子形狀的算額，是十分特別的，因為日本現存江戶時代的算額中，絕大多數都是長方形。所以這幅扇子形的算額，是極為少見的。

圖片來源：維基百科

這幅算額上我們可以看到有一個數學問題與一個附圖，圖中是一張桌子與其上三顆球。乍看之下可能是立體幾何的問題。以下是算額上的文字。

如圖中圓徑九寸小圓徑四寸大圓径幾何問

答三十六寸

術曰置中圓径除小圓徑開平方内減一箇自之以除中圓径得大徑合問

關流水野與七郎門人 野口冨太郎 源貞則 元治甲子年十一月吉日

我們可以看出，這是幕末的1864年（元治元年），由關流（江戶初期算聖關孝和所建立的算學流派）水野興七郎的學生野口冨太郎、源貞則所奉納。仔細查考上面的問題與術文，我們可以看出，這其實是一題頗為基本的平面幾何問題。如下圖，大圓、中圓、小圓互相外切，且同時與一直線相切，已知中圓與小圓的直徑，求大圓的直徑。

要求出大圓的直徑，關鍵是要先知道圓外公切線段長與直徑之間的關係。以這一題來說，我們要先證明這個引理：若兩圓外切，則兩圓之外公切線段長就是兩圓直徑乘積再開平方。這個命題是以國中數學就能證明的命題，各位讀者可以自行嘗試證明。

上面的引理其實是江戶時代和算家常用的命題。有了這個引理，我們就可以來解上面的問題。設大圓、中圓、小圓的直徑分別為 x、y、z:

算額是不是很有趣呢？全日本各地的神社與寺院收藏了約一千枚算額。下次各位造訪日本神社或寺院時，或許可以注意看看，可能你也會找到算額，並且體會不一樣的江戶文化！

參考資料：群馬和算研究會「東京渋谷の金王神社の算額算額写真（全問題と解法例）」