古代東亞的算學教育制度

古代的國子監不是只讀四書五經，也可以學數學！

上個週末我到奈良附近參加數學史的會議，讓我回想起日本奈良時代 (710-794) 的平城京（位於今日的奈良市），以及當時東亞三國的算學教育制度。下圖是平城京遺跡上復原的平城宮大極殿。

圖片來源：維基百科。作者：Tamago Moffle

古代東亞的科舉考試與國家教育制度，並不如許多人刻板印象中，只能學習儒家經典再參加考試。像算學這樣的學科因為有實用的需求，所以也列在唐代國子監的學科之中。國子監算學科的學生完成學業之後，亦可參加算學科考試，通過後任官。同時代的新羅，也在國學中設立算學科。前面提到日本的奈良時代，已經進入律令國家的時代，繼承先前頒訂之《大寶律令》，重新頒訂《養老律令》，形式上施行至明治維新之前。《養老律令》中也明訂了國家的教育制度，其中包含算學。下表是八世紀時東亞三國的算學教育制度。形式上來說，僅有唐帝國有平民進入國子監的可能性，新羅與日本都是貴族子弟才能入學。學生學習的教材，大多是兩漢與魏晉南北朝的算學經典，包含東亞算學最重要的《九章算術》。新羅與日本可能將唐帝國的算經轉化之後，編纂出自己的《六章》、《三開》、《九司》等書。學生通過科舉考試之後，就會敘位任官。下表中位階後面的（X/Y）代表敘位的高低，分母Y表示全體位階的數量，分子X表示在所有位階中的排名。由下表可知，唐帝國算學官僚的初任官位是所有位階中最低，新羅與日本相對較高。

東亞三國中的算學教育制度，並未都長久的施行，僅有在韓半島上繼承新羅的高麗與朝鮮將類似的教育與考試制度延續至十九世紀。不過，也因為古代東亞各國曾經十分重視算學教育，所以才留給後世的我們這麼多數學遺產。

參考資料
城地茂 (2014)，《和算の再発見: 東洋で生まれたもう一つの数学》，（京都：化学同人）。
洪萬生、英家銘 (2016)，〈「方程之術，即中等之法，何難之有？」– 從朝鮮的中人技術官僚傳統看東亞算學的發展與交流〉，《數理人文》第8期，頁67-71。

此孫子非彼孫子

《孫子兵法》人類歷史上最古老的兵學著作之一，對後世影響深遠。除了兵學之外，這本書對博奕與體育競技的策略上都有影響。東亞諸國日常生活中許多諺語與成語，也是來自這本書。今天的誠品日曆，建議大家再去品味這不對我們的文化影響深遠的著作。《孫子兵法》被認為是公元前六世紀末的吳國人孫武所著，所以書名上的「孫子」應該就是指孫武。

不過，在東亞歷史上，還有另一位「孫子」，寫下了一本書叫做《孫子算經》。我第一次看到這本書的時候，直覺就想到，這本書的作者，會不會跟《孫子兵法》的作者是同一人呢？畢竟，懂軍事的人，可能也要懂一點數學，才能「運籌帷幄之中，決勝於千里之外」（這句話出自《史記·高祖本紀》，形容的是張良，「運籌」就是用算籌進行計算）。當然，我這樣的直覺並沒有根據。從書中的內容來看，算題中出現「佛書」還有「棊局方一十九道」的用語，不可能是在公元前六世紀成書，因為佛教在公元一世紀後才傳入東亞，且 19x19 的圍棋也是魏晉之後才有的規格。學者根據書中的內容，大多將這本書的年代定在公元四至五世紀左右。所以，這本書的作者不可能是孫武。只不過，歷史與考古學上找不到任何紀錄，告訴我們作者是誰。我們只知道他應該生活在南北朝的年代。

從這本書的內容來看，很多是基礎的算術方法，也有稍微複雜的面積與體積問題，後者可能超越先秦算學的發展，但都包含於漢代成書的《九章算術》之中。不過，這本書有兩個影響深遠的算題，在漢、魏之前的算學著作不曾出現。第一個算題是有名的「雞兔同籠」問題，大家在小學都做過。《孫子算經》的思路基本上跟大家在小學的算術思維一樣。原書題目是說：「今有雉、兔同籠，上有三十五頭，下九十四足。問雉、兔各幾何？」假設籠中全部都是雞，94足就是47隻雞，但籠中僅有35隻動物，少了12隻。兩隻雞的腳的數目等於一隻兔的腳的數目。所以，每少一隻動物，就等於用兩隻雞換一隻兔子，少了12隻動物就表示有12隻兔子。確定兔子數量之後，我們就得到雞有35 - 12 = 23隻。這個問題在後來許多的算書中出現，成為基本算術的重要練習題。這個問題傳到日本之後，就變成了有名的「龜鶴算」。

《孫子算經》中另一個名題，就是「物不知數」問題，本質上是一次同餘方程組問題。很多朋友在中學都時候就做過「韓信點兵」的問題，本質上就與此題相同。這個算題是人類歷史上首度出現一次同餘方程式與其解法。雖然「中國剩餘定理」、一次同餘方程組的一般解法與證明，都要等到很晚才出現，但這個題目跟它的解法的出現，仍然有重要的時代意義。下面是《孫子算經》現存最早的宋版書影，圖中有「物不知數」的問題與解法。

上面的內容都不是我研究的結果。我只是把一些資料整理一下。有興趣的朋友可以去搜尋 Lam Lay Yong、錢寶琮、郭書春等學者的著作。