人類至今發現的最大質數

2018年12月7日，人類發現到目前為止最大的質數，這個數的值為2的82,589,933次方再減1，用10進位表示的話總共有24,862,048位數，也就是接近兩千五百萬位，寫在紙上要好幾千頁的A4才寫得完。這個最新發現的質數是一個梅仙質數，也就是有「2的某次方減1」這樣形式的質數。這個數雖然這麼大，但這不過是人類發現的第51個梅仙質數。

2300年前，歐幾里德就用很簡單的論述證明質數比任意指定的個數都要多。用現在的話來講，就是「質數有無限多個」。歐幾里德的論述，簡單來說是這樣。假設你認為這個世界只存在3個質數 a、b、c。考慮 d = abc + 1。d 有可能是質數或合數。如果 d 是質數，因為 d 比 a、b、c 都要大，那麼你就找到了新的質數。如果 d 是合數，那麼 d 一定會被某個質數整除，但是 d 除以 a、b、c 都餘1，所以一定存在不同於 a、b、c 的質數。無論如何，質數都比你說的3個要多。

「質數有無限多個」代表的意義是，不管你找到多大的質數，總會有下一個。不管你爬上了哪一座大山，總會有下一座更高的山等著你去攀登。無論你完成了多困難的目標，總有下一個更艱難的目標讓你挑戰。這光用想的就令人興奮。而在現代，尋找大質數變成數學家與電腦科學家無止盡的挑戰。

參考資料：
The World Has A New Largest-Known Prime Number
GIMPS Discovers Largest Known Prime Number

博士の愛した数式

本週的誠品日曆介紹小川洋子的作品《凍結的香氣》。這本書我不熟，但小川洋子的另一本小說《博士熱愛的算式》，倒是在臺灣頗負盛名，因為這是一本很「好看」的數學小說。

《博士熱愛的算式》日文原版

數年前洪萬生老師送我這本小說，我就馬上拿來讀了。數學小說有很多種類型，包含歷史故事、懸疑推理、浪漫愛情等等。但這本小說很特別，我覺得很難把它放到任何一個類別裡。故事是一位因為車禍而只能維持80分鐘記憶的數學家、他的管家，以及管家的兒子三個人之間的故事，網路上有許多書評，我就不再重複這個故事。

我很喜歡這個故事的原因，是因為這個故事很...平凡。故事讀起來很溫暖，從數學到棒球與人生，許多細微的連接，幾乎靜止的時間，每天三餐、管家上班，小孩上學，回家吃飯、聊天，就是這些故事，平凡但不乏味，聊數學但不冰冷。我不知道該如何形容，總之，博士、管家與小孩，熱愛的不只是數學，更重要的是三個人之間平凡的生活與情誼。

這部小說很受歡迎，所以也拍成電影。

《博士熱愛的算式》中文版DVD

（圖片來源：https://www.books.com.tw/products/D020036865）

我其實不常讀小說，特別是純文學的小說，但小川洋子的小說，或許會是例外。誠品日曆上《凍結的香氣》放入考慮書單好了。

侘・寂

好，我真的不是很懂「侘・寂」（Wabi-Sabi）這種日本獨特的美學。事實上，我不太敢說我具有太多美學素養，特別是在充滿中華民國美學的環境下潛移默化長大的情況下。不過這幾年，跑了幾趟日本，感覺到這個國家真的不是只有守秩序跟乾淨這些優點而已。日本的建築物與名勝到處都充滿一種我說不出來的感覺。後來我讀到「侘・寂」的概念之後，漸漸覺得這就是那種我說不出來的感覺，比如欣賞銀閣寺的感覺。

銀閣寺一景

每年10-12月通常都是我相對忙碌的月份，所以看到誠品日曆這本介紹「侘・寂」概念的書，就忍不住寫一篇心得。這本書用絹布當成書皮，邊緣還脫線牽絲，嘗試從裝幀開始體現「侘・寂」。稍微查一下，這本書似乎是西方世界最早介紹這種日本獨特美學的專書之一，後來被很多人引用。講到這裡，我還是沒有說明什麼是「侘・寂」，因為我實在講不太出來。這種美學帶有一種低調、安靜、質樸，而且是有缺陷的感覺。但我這樣講當然也只是講出我感受的一部份而已，完全無法定義這種美學。

對我來說，回憶或欣賞「侘・寂」的美學，好像是忙碌的生活中的一種逃脫。下面再放一張掛川城二之丸茶室的冬日景色，繼續感受「侘・寂」。

掛川城二之丸茶室冬日景色

在譯者的故鄉若狭小濱看到《解體新書》！

從JR小濱線東小濱站出站步行十來分鐘，可以走到「若狭歴史博物館」，裡面收藏福井縣若狭地方相關文物。

福井縣小濱市若狭歷史博物館

很有趣的是，我在這裡也看到了《解體新書》！

《解體新書》

（圖片來源：https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Kaitai_shinsyo01.jpg）

館內禁止攝影，所以我用維基的圖片代替。《解體新書》（1774）是日本歷史上首度直接從西方語言整本翻譯成日文的書籍，內容是關於人體解剖學，翻譯的底本是德國醫師 Johann Adam Kulmus 所著之 Anatomische Tabellen 的荷蘭語版本。這本書的譯者有四位，其中一位是若狭國小濱藩醫杉田玄白（1733-1817）。

小濱藩醫杉田玄白

（圖片來源：https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Sugita_Genpaku.jpg）

《解體新書》翻譯的由來據說是這樣。1771年蘭方醫（也就是西醫）杉田玄白、前野良沢、中川淳庵三人在江戶小塚原刑場見習死刑犯的遺體解剖，對於解剖狀況與這本荷蘭傳來的醫書絲毫不差感到十分驚訝，於是向懂荷蘭語的前野良沢提議共同翻譯這本書。這是一項浩大的工程。前野良沢自己的荷蘭語不夠精熟，加上有許多專有名詞要詢問在長崎的通譯也十分不便，但他們還是硬著頭皮翻下去。根據玄白晚年的說法，這件翻譯工作好像是「沒有槳也沒有舵的船往大海航行而去」的感覺。這本書的翻譯當然不完美，但在三年後的1774年譯完刊行。書中某些翻譯名詞，如「神經」、「軟骨」、「動脈」等等，到今天仍被東亞國家使用。

在譯者的故鄉看到《解體新書》解體新書，別有一番感動！

《S.》與鬼才 J. J. Abrams

快兩年沒寫誠品日曆，本來打算下週復出，但今天恰巧遇上誠品桃園店重新開幕，剛好來買這本很特別的《S.》，作者是鬼才導演與製作人 J. J. Abrams。

J. J. Abrams 在宅男界頗負盛名，因為他把幾乎要消失在地球上的星艦電影系列重新救回來。不過，他的作品中我個人最喜歡的，是《Lost》。這部影集從2004年播映至2010年，共六季，故事開始時一架從雪梨飛往洛杉磯的班機，因為不明原因在南太平洋墜毀於荒島上，機上有數十人奇蹟似地生還。就從這些人迷失在島上開始，故事中發生了一連串無法解釋的神秘事件。《Lost》整部影集給觀眾一種很厚重的神秘感，每一集都似乎有一些進展，但又帶來更多謎題。故事到最後一季的最後一集，都還有非常多的謎團沒有解開，但最後一幕的劇情急轉直下。本來我看了五年半的影集，都以為我在看科幻片，但最後一幕...真是超級燒腦。這套影集陪我度過博士班的五年，而且在我博士論文集即將完成的時候播放結局，所以我印象深刻。這部影集真的很好看，看完我相信你會佩服 J. J. Abrams 的創意。

圖片來源：www.gadgetreview.com

今年的誠品日曆主題是裝幀設計，說實在我完全沒概念，所以今年也一直遲遲無法寫關於誠品日曆的評論。但是下週的誠品日曆就介紹到了 J. J. Abrams 寫的書，讓我眼睛一亮，很想要買來讀看看。

《S.》有多特別呢？我來講沒有什麼說服力，請看吳念真旁白的介紹。

小時候我讀過一種冒險故事書，劇情每一兩頁就會有一個讀者需要做的判斷。不同的判斷會指引到不同的頁數，一本書可能有數十種支線，所以每次讀會有不同的結局。這本《S.》比我小時候讀過的那種書可能更有趣，而且還有手寫的筆跡。它不見得會比《Lost》好看，但我相信我應該會同樣感受到大量的神秘以及創意元素！

日本現存最古算額，竟然有1703次方程式！？

日本江戶時代算額奉納的作法，可能從17世紀中葉開始。然而，現存的算額之中，僅僅只有四面17世紀的算額，而且都在17世紀末。這四面之中，有兩面在京都，一面在山形，至於最古老的一面，就是被奉納於栃木県佐野市星宮神社的算額，時間是1683年。這面算額目前從神社出借，被展示於佐野市鄉土博物館。

栃木県佐野市星宮神社所藏算額（複製品）

這片算額在江戶末期已經稍有破損。到1975年因為神社發生火災，雖然沒有將算額燒毀，但表面炭化，上面的文字已經不容易看出。筆者在博物館隔著玻璃靠近觀看，仍然可以稍微看出上面的文字，但極不清楚。所幸在火災前，當地的中學老師與學生曾經將整面算額的內容抄錄下來，所以我們現在可以看到完整的複製品。從複製品中，我們可以看到上面的問題。第一題是體積與工程問題，第二題是和算中有名的「道明問題」，要問如何用一條L形的道路與一條線段將一個矩形地分成面積相等的三個區域。前兩題都是相對單純而且有實際應用的題目，但第三題就有趣了。東亞古代算學，2次方稱為「平方」，3次方是「立方」，4次方是「三乘方」，5次方是「四乘方」，所以「n 乘方」或「n 乘冪」就是「(n + 1) 次方」，而「開 n 乘方」就是要解一個 (n + 1) 次方程式。這題的圖形乍看之下不複雜，但是題目敘述中有「開六乘」、「八乘冪」、「開四乘」、「開三乘」 這些敘述，已經夠複雜了，到解法的最後，作者竟然宣稱要「一千七百○二乘方開之」，也就是要解一個1703次方程式！

栃木県佐野市星宮神社所藏算額

之前聽說和算家會去解超高次方程式，例如關孝和在《發微算法》中有一個問題最後列出1458次方程式。這次在算額上面看到出現更高次的方程式，真是令人驚訝。當然，算額上面並沒有詳細的計算過程，實際求方程式數值解的增乘開方法，在概念上並不困難，但當方程式次數很高的時候，計算就會變得很繁複而且曠日廢時。不知道作者花了幾個月才把這個超高次方程式的解計算出來？

後面第四題是第三題的類似題，但是只有問題沒有解法，也就是「遺題」，開放讀者挑戰。所以「遺題」的傳統不只是在和算書，也會在算額出現。這次到佐野開會，親眼看到日本現存最古老算額，以及上面1703次方程式及遺題，真是不虛此行！

栃木県佐野市星宮神社

栃木県在日本是相對鄉下的地區。如果大家有機會到栃木県佐野市，不妨到佐野市鄉土博物館與星宮神社看看。說不定你也可以看到這面日本最古老的算額！

栃木県足利市鑁阿寺所藏算額

室町幕府將軍家足利氏的先祖源義康，在12世紀中葉的時候，於下野國足利莊（今栃木県足利市）建立居館。12世紀末至13世紀中，足利氏在這裡建立佛寺（鑁阿寺）。而這裡也收藏有兩面19世紀的算額。

鑁阿寺（足利氏館）正門

鑁阿寺本堂

第一面算額是江戶時代末期，1848年由最上流増田善右衛門與其門人奉納，但保存狀態不佳，上面的文字已經難以閱讀，只有圖形還能稍微辨識。

1848年最上流増田善右衛門與其門人奉納算額

（圖片來源：www.wasan.jp）

第二面算額是在明治時代，1884年由關流石原清右衛門與其門人奉納。這面算額中有三個題目，筆者過去在算額專書中讀過中間的第二題。這個題目中有上、下、左、右四個正方形互相以頂點外接，而且下、左、右三個正方形的其中一個頂點共線。題目只給定上方正方形的邊長，問下面正方形的邊長。這個問題若以歐式幾何的方法來解，需要畫很多條輔助線。要自己把那些輔助線想出來，真是十分困難的事情，筆者也是看解答才會做。

1884年關流石原清右衛門與其門人奉納算額
（圖片來源：www.wasan.jp）

鑁阿寺的算額平常沒有公開展示，但是這座被列入日本百大名城的寺院，竟然也收藏有算額，很令人意外。

參考資料：群馬縣和算研究會

東京渋谷金王八幡宮與其所藏算額

在東京都渋谷區，距離渋谷站步行不到10分鐘的路程，有一座金王八幡宮神社，我在2014年8月曾經造訪過這裡。這座神社在江戶時代為將軍家所信奉，特別在1612年，三代將軍德川家光的乳母春日局為其建造社殿與神門，所以我們到這裡可以看到江戶初期的建築。

金王八幡宮不算是太有名的神社，但是這裡收藏了三面「算額」。所謂「算額」，就是江戶時代的數學家，把他們的數學研究成果製成類似匾額的形式，奉納到神社或寺院，以感謝神佛的恩賜，也是一種公開發表研究成果的方式。金王八幡宮收藏的三面算額中，有一面扇子形狀的算額，是十分特別的，因為日本現存江戶時代的算額中，絕大多數都是長方形。所以這幅扇子形的算額，是極為少見的。

圖片來源：維基百科

這幅算額上我們可以看到有一個數學問題與一個附圖，圖中是一張桌子與其上三顆球。乍看之下可能是立體幾何的問題。以下是算額上的文字。

如圖中圓徑九寸小圓徑四寸大圓径幾何問

答三十六寸

術曰置中圓径除小圓徑開平方内減一箇自之以除中圓径得大徑合問

關流水野與七郎門人 野口冨太郎 源貞則 元治甲子年十一月吉日

我們可以看出，這是幕末的1864年（元治元年），由關流（江戶初期算聖關孝和所建立的算學流派）水野興七郎的學生野口冨太郎、源貞則所奉納。仔細查考上面的問題與術文，我們可以看出，這其實是一題頗為基本的平面幾何問題。如下圖，大圓、中圓、小圓互相外切，且同時與一直線相切，已知中圓與小圓的直徑，求大圓的直徑。

要求出大圓的直徑，關鍵是要先知道圓外公切線段長與直徑之間的關係。以這一題來說，我們要先證明這個引理：若兩圓外切，則兩圓之外公切線段長就是兩圓直徑乘積再開平方。這個命題是以國中數學就能證明的命題，各位讀者可以自行嘗試證明。

上面的引理其實是江戶時代和算家常用的命題。有了這個引理，我們就可以來解上面的問題。設大圓、中圓、小圓的直徑分別為 x、y、z:

算額是不是很有趣呢？全日本各地的神社與寺院收藏了約一千枚算額。下次各位造訪日本神社或寺院時，或許可以注意看看，可能你也會找到算額，並且體會不一樣的江戶文化！

參考資料：群馬和算研究會「東京渋谷の金王神社の算額算額写真（全問題と解法例）」