那種歐幾里德告訴我們的完美

28是個完美的數字，因為它等於其自身以外所有正因數1、2、4、7與14之和。

歐幾里德《幾何原本》卷九命題三十六是這樣寫的：「如果從單位開始，連續不斷地加倍，直到各項之和為質數，並將此總和與最後一項相乘，則此乘積為完美數。」所謂「完美數」（perfect number, τέλειος ἀριθμός），在《幾何原本》卷七定義22有寫到，「完美數即等於自身部分之和的數」，用現代語言說明，就是如果有一個數剛好等於自身之外所有正因數之和，這個數就是「完美」。比如說，6除了自身之外的正因數有1、2、3，而且6=1+2+3，所以6就是一個完美數。歐幾里德《幾何原本》卷七至卷九討論的是整數的理論包含因數、倍數、質數、合數、數列與級數等等的理論。他在第七卷定義完美數之後，在這三卷的最後一個命題，也就是上述卷九命題三十六，證明了一個關於完美數的漂亮結果，作為總結這三卷數論的最高潮。下面我們用兩個例子來說明這個命題的意義。

首先，我們從1開始，加倍到2，此時數列有1、2兩項，且1+2=3為質數，那麼3乘上剛剛最後一項的2得到6，那麼6就是個完美數，前一段已經驗證。

接著看下一例。我們一樣從1開始，加倍到2，再加倍到4，此時數列有1、2、4三項，且1+2+4=7剛好也是質數，則7乘上數列最後一項4得到28，那麼28也是完美數。我們可以驗證看看。28除自身之外的所有正因數有1、2、4、7與14，且1+2+4+7+14=28，所以28是完美數！

歐幾里德在兩千三百年前證明了上面的命題，而在十八世紀，大數學家歐拉證明了這個命題的逆命題，也就是如果一個偶數是完美數，則這個數必然可以從歐幾里德的造法而得。讀者如果想要知道它們的證明，可以參考這裡。

完美數的尋找並不容易，因這牽涉到大質數的判定。人類所知的前五個完美數為6、28、496、8128、33550336。第十個完美數等於2^88(2^89 - 1)。所有偶完美數的問題理論上已經解決，然而是否存在奇完美數，仍是數論上的開放問題，還有待數學家去挑戰。