我的國小社會與白江口之戰

圖一：白村江之戰時期倭國的備戰形勢與出兵路線。（圖片來源：佐藤信、五味文彥、高埜利彦、鳥海靖（2008），《詳説日本史研究》（東京：山川出版社），頁57。）

最近幾年讀古代東北亞的歷史，隱約想起國小社會課學過的東西，一直想寫篇部落格文章來紀念。今天我終於生出時間到國家教育研究院臺北院區（也就是過去大名鼎鼎的「國立編譯館」）內的教科書圖書館，把我國小的社會課本找出來，拍照存證，順便來聊聊歷史。

圖二：國立編譯館國小社會課本第九冊

上圖是我讀過的國小課本第九冊，五、六年級生大概會有印象。這個版本的國小社會，其實已經包含許多與臺灣有關的資訊，並不如許多人誤會地說到史地只談中國。臺灣的部分主要在中年級談。第九冊進到高年級，重點就轉移到中國。下圖是第九冊的目錄。

圖三：國立編譯館國小社會課本第九冊目錄

從目錄可以看出，第九冊的重點是中國的地理、歷史與文化。除去第一章地理的部分，後面三章是用主題的方式談中國的歷史文化。這樣的編排也沒有什麼不好，主題式學習對於社會科來說是應該算常見的教學方式。

不過，在我的記憶中，我對國小社會的學習是很混亂的。我五、六年級的老師很愛說中國有「五千年歷史」，怎麼學都學不完。他這麼說也沒什麼大問題。但是用主題式編排的社會課本，讓我完全搞不清楚中國史「五千年」中不同朝代的時間順序與地理位置，所以我讀起來，所有的歷史人物與事件都是混在一起的。我沒有要批評這種主題式的編排，混在一起是我自己的問題。我對中國歷史，要到國中才稍微有比較結構性的概念。關於我的國小社會課本，我想批評的是另一件事。

這個版本的國小社會第九冊第二章第四節叫做「海外唐山」，可想而知是要討論中國文化與華人在海外的影響。這裡不談本節內容的民族主義筆法，我想說的是下面這一頁。

圖四：國立編譯館國小社會課本第九冊內頁

這一頁提到的是唐帝國對於日本的影響。從21世紀的角度來看，這一頁可能有不少值得商榷的地方。但是對於當年的一個小學生來說，我就記住了白江口之戰是「歷史上中日之間的第一次大戰」，然後這件事情在我的腦海裡變成一個奇異點。原因是，當我完全搞不清楚朝代的年代與順序，搞不清楚東（漢）南（宋）西（周）北（魏），搞不清楚孔子是有多偉大的時候，我卻很清楚地記住了，除了八年抗戰之外，中國跟日本還打過白江口之戰。這件事情就這樣留在我的腦海中，變成一個奇妙的存在，即使後來對中國歷史有比較結構性的瞭解，這個奇異點沒有消失，也沒有被同化到我的歷史「基模」中（借用皮亞傑的說法）。我一直不知道我為什麼在國小要學白江口之戰，即使後來我對歷史產生濃厚的興趣，甚至想將之變成我的職業，我還是不理解。

聊一下我長大之後理解的白江口之戰好了。當代歷史學家普遍接受的看法，如果我沒有弄錯的話，大概是這樣。公元六至七世紀，在韓半島上的高句麗、百濟與新羅三個王國，互相爭奪半島的霸權，而半島的北邊有突厥、西邊先後有隋、唐帝國，東邊的列島上的倭國，後來改名「日本」。這些國家在發展與擴張的過程中，難免產生衝突，一點都不奇怪。在第七世紀，唐帝國很自然地認為它是老大，四夷都要臣服。新羅與唐帝國的關係相對來說比較親密，而高句麗、百濟對於倭國則相對友善。當時韓半島上的三個王國，不聽老大唐帝國的話互相爭戰，而且，隋、唐兩大帝國過去數次與高句麗大戰也都佔不到便宜。655年，高句麗與百濟聯合侵攻新羅，新羅向唐求援，於是唐帝國出兵，要再次設法讓不聽話的兩國臣服（這種小老弟不聽話大哥就要出兵展現肌肉的作法，好像到21世紀還是存在）。這次的效果竟然出奇地好，唐帝國在660年就把百濟給滅亡了！百濟數個世紀以來都與列島上的倭國交好。百濟滅亡之後，百濟遺臣向倭國以及滯留於倭國的百濟王子求援，而當時國力不算強的倭國，竟然傾全國之力要來幫助長年的友邦百濟。文章前面的圖一是當時倭國的備戰形勢與出兵路線。

倭國雖然全力襄助百濟，但是這場戰爭最後的結果，就是在663年，倭國、百濟聯合軍於白村江大敗於唐、新羅聯合軍。倭國元氣大傷，百濟也無法復國。戰後倭國產生了很大的危機感，從上圖可以看出，倭國在百濟移民的協助下，於北九州與瀨戶內海設置了許多防衛設施，以防備唐軍來襲。

長大之後的我，大概理解了白江口之戰的歷史背景與經過。回到國小的奇異點，這段歷史放在國小社會第九冊要做什麼？我本來只記得「歷史上中日之間第一次大戰」這句話，今天去國教院找到課本，看到上面那一頁，一堆問題，我真的驚呆了！把高句麗稱為「高麗」，是中文世界歷史書寫自古以來的一種做法，是非曲直暫且不表。可是，在「海外唐山」這一節先講中日大戰再說中國文化大量輸入「日本」，那是要表示倭國戰前「不知感恩」還是戰後「心悅誠服」呢？更誇張的是，這一頁竟然寫日本「侵犯高麗」，侵略高句麗的是唐帝國吧！？史觀是一回事，違背史學界公認的事實就太誇張了。古代國家互相侵攻征伐，從現代的角度來看不一定能說誰是誰非，高句麗與百濟被新羅與唐帝國滅亡，也是歷史發展的過程，我並沒有要做價值判斷。但是，人真的不是倭國殺的，不能冤枉他們。即使以20世紀冷戰時代的觀點來說，這一頁的歷史書寫絕對是不及格的。

罵完之後，回到我成長過程中的奇異點。到底社會課本寫這件事要幹什麼？我唯一能想到的答案，大概就是培養我們的「愛國情操」！如果這真的是那一頁背後的理念，那麼這個理念應該沒有成功。假使硬要幫它找優點，那只好說它在我心中種下一個問題的種子，讓我長大有好好讀歷史的慾望吧！

古代東亞的算學教育制度

古代的國子監不是只讀四書五經，也可以學數學！

上個週末我到奈良附近參加數學史的會議，讓我回想起日本奈良時代 (710-794) 的平城京（位於今日的奈良市），以及當時東亞三國的算學教育制度。下圖是平城京遺跡上復原的平城宮大極殿。

圖片來源：維基百科。作者：Tamago Moffle

古代東亞的科舉考試與國家教育制度，並不如許多人刻板印象中，只能學習儒家經典再參加考試。像算學這樣的學科因為有實用的需求，所以也列在唐代國子監的學科之中。國子監算學科的學生完成學業之後，亦可參加算學科考試，通過後任官。同時代的新羅，也在國學中設立算學科。前面提到日本的奈良時代，已經進入律令國家的時代，繼承先前頒訂之《大寶律令》，重新頒訂《養老律令》，形式上施行至明治維新之前。《養老律令》中也明訂了國家的教育制度，其中包含算學。下表是八世紀時東亞三國的算學教育制度。形式上來說，僅有唐帝國有平民進入國子監的可能性，新羅與日本都是貴族子弟才能入學。學生學習的教材，大多是兩漢與魏晉南北朝的算學經典，包含東亞算學最重要的《九章算術》。新羅與日本可能將唐帝國的算經轉化之後，編纂出自己的《六章》、《三開》、《九司》等書。學生通過科舉考試之後，就會敘位任官。下表中位階後面的（X/Y）代表敘位的高低，分母Y表示全體位階的數量，分子X表示在所有位階中的排名。由下表可知，唐帝國算學官僚的初任官位是所有位階中最低，新羅與日本相對較高。

東亞三國中的算學教育制度，並未都長久的施行，僅有在韓半島上繼承新羅的高麗與朝鮮將類似的教育與考試制度延續至十九世紀。不過，也因為古代東亞各國曾經十分重視算學教育，所以才留給後世的我們這麼多數學遺產。

參考資料
城地茂 (2014)，《和算の再発見: 東洋で生まれたもう一つの数学》，（京都：化学同人）。
洪萬生、英家銘 (2016)，〈「方程之術，即中等之法，何難之有？」– 從朝鮮的中人技術官僚傳統看東亞算學的發展與交流〉，《數理人文》第8期，頁67-71。

此孫子非彼孫子

《孫子兵法》人類歷史上最古老的兵學著作之一，對後世影響深遠。除了兵學之外，這本書對博奕與體育競技的策略上都有影響。東亞諸國日常生活中許多諺語與成語，也是來自這本書。今天的誠品日曆，建議大家再去品味這不對我們的文化影響深遠的著作。《孫子兵法》被認為是公元前六世紀末的吳國人孫武所著，所以書名上的「孫子」應該就是指孫武。

不過，在東亞歷史上，還有另一位「孫子」，寫下了一本書叫做《孫子算經》。我第一次看到這本書的時候，直覺就想到，這本書的作者，會不會跟《孫子兵法》的作者是同一人呢？畢竟，懂軍事的人，可能也要懂一點數學，才能「運籌帷幄之中，決勝於千里之外」（這句話出自《史記·高祖本紀》，形容的是張良，「運籌」就是用算籌進行計算）。當然，我這樣的直覺並沒有根據。從書中的內容來看，算題中出現「佛書」還有「棊局方一十九道」的用語，不可能是在公元前六世紀成書，因為佛教在公元一世紀後才傳入東亞，且 19x19 的圍棋也是魏晉之後才有的規格。學者根據書中的內容，大多將這本書的年代定在公元四至五世紀左右。所以，這本書的作者不可能是孫武。只不過，歷史與考古學上找不到任何紀錄，告訴我們作者是誰。我們只知道他應該生活在南北朝的年代。

從這本書的內容來看，很多是基礎的算術方法，也有稍微複雜的面積與體積問題，後者可能超越先秦算學的發展，但都包含於漢代成書的《九章算術》之中。不過，這本書有兩個影響深遠的算題，在漢、魏之前的算學著作不曾出現。第一個算題是有名的「雞兔同籠」問題，大家在小學都做過。《孫子算經》的思路基本上跟大家在小學的算術思維一樣。原書題目是說：「今有雉、兔同籠，上有三十五頭，下九十四足。問雉、兔各幾何？」假設籠中全部都是雞，94足就是47隻雞，但籠中僅有35隻動物，少了12隻。兩隻雞的腳的數目等於一隻兔的腳的數目。所以，每少一隻動物，就等於用兩隻雞換一隻兔子，少了12隻動物就表示有12隻兔子。確定兔子數量之後，我們就得到雞有35 - 12 = 23隻。這個問題在後來許多的算書中出現，成為基本算術的重要練習題。這個問題傳到日本之後，就變成了有名的「龜鶴算」。

《孫子算經》中另一個名題，就是「物不知數」問題，本質上是一次同餘方程組問題。很多朋友在中學都時候就做過「韓信點兵」的問題，本質上就與此題相同。這個算題是人類歷史上首度出現一次同餘方程式與其解法。雖然「中國剩餘定理」、一次同餘方程組的一般解法與證明，都要等到很晚才出現，但這個題目跟它的解法的出現，仍然有重要的時代意義。下面是《孫子算經》現存最早的宋版書影，圖中有「物不知數」的問題與解法。

上面的內容都不是我研究的結果。我只是把一些資料整理一下。有興趣的朋友可以去搜尋 Lam Lay Yong、錢寶琮、郭書春等學者的著作。

Seminário

今天到滋賀縣近江八幡市拜訪安土城遺跡，但是這附近還有另一個亮點，就是耶穌會在日本建立的神學院 (Seminário, セミナリヨ) 遺址。我們常說，1582年利瑪竇到了澳門，開啟西學傳入中國的序幕。但其實在那之前，耶穌會士就已經來到日本。當時織田信長正在進行他的天下布武。在那個大破大立的時代，信長對於南蠻（即西班牙與葡萄牙）的宗教並不排斥。1580年，信長允許耶穌會士在新建的安土城下建立神學院，進行日本人祭司與修士的教育。這個神學院後來在1582年本能寺之變後，隨著安土城與城下町一同被燒毀。後來統一天下的豐臣秀吉與德川家康，對切支丹（基督徒）很有戒心，都發佈了禁教令，使得歐洲與日本文明的交流必須用其他方式進行，十分可惜。

下面是我今天拍的一些照片。

セミナリヨ遺址

神學生日課 

 セミナリヨ由來

 セミナリヨ所在地

日本宣教士三木保羅的故事

《古蘭經》中的數學遺產

今天的誠品日曆介紹的是哈濟生的《伊斯蘭文明》這本書，不過，這讓我想到伊斯蘭文明的重要根源《古蘭經》裡面，因為有提到遺產分配的法則，所以後續引發出一些數學問題，剛好可以放部落格分享。

《古蘭經》第四章婦女章裡面，有數節提到遺產分配的問題。列舉如下：

4:7 男子可獲父母和近戚們遺下的分額。女子可蕕父母和近戚們遺下的分額，無論多少——規定的分額。

4:8 有親屬關係者、孤兒、貧人，臨分到場的時候，你們要贈給他們一些；並對他們說好話。

4:11 安拉為你們的子女囑咐你們！一男獲若二女的分額。她們若是兩個以上的女子了，則獲他遺下的三分之二。若是僅她一人了，則獲半數。他的父母各獲他遺下的六分之一，如果他有子嗣的時候。他若無有子嗣，他的父母繼承他著，他母親獲得三分之一。如果他有弟兄，他母親獲得六分之一。這在用牠作遺囑或還付欠債以後。你們的父和子，你們不知哪是在利益上最近於你們的——由安拉規定的。安拉實是深知的，明哲的。

4:12 你們獲得妻室所遺的半數，若是她們無有子嗣的時候。如果她們有子嗣了，你們就獲得她們所遺的四分之一，在她們用牠作遺囑或還欠以後。她們獲得你們所遺的四分之一，若是你們無有子嗣的時候。如果你們有子嗣了，她們就獲得你們所遺的八分之一；在你們用牠作遺囑或還欠以後。如果被繼承的男子或女子，是一個上無父母，下無兒女的，在他有一弟（兄）或一姊（妹）他倆各獲所遺的六分之一。如果他們是多過這個的，他們就於三分之一上共同。這在用牠作遺囑或還欠以後，不得有妨害。安拉的囑告。安拉是深知的、仁厚的。

大家一定看得眼花撩亂。根據普遍接受的解釋，取重點來說：
(1) 財產遺可以贈予陌生人，但遺贈所得原則上不超過全部遺產的1/3為原則。
(2) 在扣除陌生人所得的遺產後，若死者留下未亡人與子女，則配偶可得遺產1/4，剩餘的3/4由兒子和女兒以2比1的比例分配。
(3) 當遇到兒子向父親借貸的情形，在分配上，這個兒子最差的情況就是拿不到遺產，即是以所得遺產與借貸的錢數抵銷，並不需向其他繼承人償還不足的金額。

這些原則就可以引出許多問題，被中世紀的數學家當成例題放在他們的著作中。比如在阿爾•花拉子模 (Al-Khowarizmi) 的著作中，有下面的問題：

一位婦女過世，留下丈夫、兒子和三個女兒，計算每一位繼承人各能分得的資產部分。

解答：丈夫取得 1/4，其餘 3/4 由兒子與三女以 2:1:1:1 來分配。子女的部分既然要分5部份 (2+1+1+1)，而父親取1/4，4與5的公倍數是20，所以丈夫得5/20，兒子取6/20，每個女兒分得3/20。

這題計算並不困難，大家也可以用簡單的代數做計算。另一個比較有趣的問題如下：

有一人過世，身後留下二子，並且要把資本的1/3遺贈給一位陌生人。而他共留下了10金幣以及對於其中一子10金幣的要求（即其中有一子欠父親10金幣）。

這題用現代數學來看有幾種不同的解法，各有巧妙不同。其中一種解法是這樣想。正常來說，兩個兒子與陌生人可以各得父親遺產的1/3，但是其中一子對父親的債務佔父親資產的一半，所以他的債務必然多於應得遺產。但是根據 (3)，他只需要還出能與他所得遺產抵銷的金額即可，不用再多還給其他繼承父親債權的人。所以，我們假設欠錢的兒子要還 x 金幣，所以父親能夠分配的遺產是 (10 + x) 金幣，每個人得到1/3，所以欠錢的兒子也得到這麼多，兩相抵銷。因此得到方程式 

(10 + x) * 1/3 = x

解方程式得 x = 5。

我第一次看到這個解法的時候也覺得很神奇，但這個問題的解釋方法不只一種。各位讀者可以自己想想看，順便體會伊斯蘭文明的風貌。

參考資料：蘇意雯 (2008) ，［可蘭經裡的遺產－代數學］，《當數學遇見文化》（臺北：三民書局）。

邏輯學者寫出毫無邏輯的作品？

2016年8月23日的誠品日曆，向讀者介紹《愛麗絲夢遊仙境》這本書。這本書大概是少數全世界家喻戶曉的英國兒童文學作品，或者，用現代的分類來說，也可以看成「奇幻文學」。可是你知道嗎？這本書的作者Lewis Carroll（原名Charles Lutwidge Dodgson, 1832-1898），其實是職業數學家與邏輯學者！

Charles L. Dodgson 早年在拉格比公學（Rugby School，也就是「橄欖球」[Rugby football] 的發源地）學習，後來進入牛津大學基督堂學院（Christ Church, Oxford）就讀，畢業後生涯的大部分時間，他都在母校基督堂學院擔任數學講師，並在任職期間寫出《愛麗絲夢遊仙境》。Dodgson 的數學研究觸及幾何、線性代數與數理邏輯等等。根據維基百科的介紹，Dodgson 的符號邏輯研究在1990年代還被幾位數學家引用做出新的成果。我自己當然是不太懂數理邏輯，不過我曾無意間在臺灣師大的圖書館讀到一本 Dodgson 寫的小書：《歐幾里德與他的現代對手》（Euclid and His Modern Rivals）。這本書中比較了歐幾里德《幾何原本》跟19世紀時其他許多套幾何教材，而且是用對話錄的形式寫出。Dodgson 基本的論點就是，19世紀所有的幾何教科書，不是比歐幾里德差，不然就是跟歐幾里德的教材有相同的功能。事實上，英國的中學到20世紀中葉，仍然使用歐幾里德作為幾何教材。多年前我到劍橋訪問研究，有幸跟科學史大師 G.E.R. Lloyd 聊過兩、三次。他曾問我臺灣的中學還用歐幾里德教幾何嗎？因為他讀中學的時候（就是二戰前後）還是用歐幾里德學幾何。臺灣的中學教材從來都不是用歐幾里德教幾何，二十世紀時大部分的國家也都不再直接用《幾何原本》當中學數學或大學通識教材，但是我竟然能夠親眼見到一位還活著的人是用歐幾里德學中學幾何，也是一種感動。

誠品日曆的作者，在評論《愛麗絲夢遊仙境》時，認為這本書接近孩童所認知的真實，因為它「毫無邏輯」！如果我們回想這本書的內容，誠品日曆的評論也不無道理。但是想到作者其實也是一位邏輯學者，這則評論就顯得十分有趣。或許，Dodgson 對數理邏輯的理解與研究，恰恰幫助他寫出看似沒有邏輯，卻又真實呈現孩童內在想像的一本暢銷書吧！

天才無限家

看電影的時候其實頗激動。本來是為了看劍橋風景而去的，但收穫更多。

第一、編劇應該是要把 Ramanujan 跟牛頓類比，但三一學院那棵樹不是果實敲到牛頓的蘋果樹。

第二、發行商可能是要讓電影更親近觀眾，所以把很多對白的中文翻譯都修飾過。比如說，關於數學的內容，讀數學的人可能會覺得翻譯稍微不到位。還有，譯者刻意地把「劍橋大學」與劍橋大學的「三一學院」模糊化。其實所有的事情都發生在三一學院，但是譯者都說成大學。美式英文常把這個字看成同義詞，但「大學」(university) 與「學院」(college) 在劍橋的意義是差別很大的。不過，這樣模糊的翻譯或許反而讓觀眾更能融入劇情。

第三、劇情真的有感動我。雖然我不是數學家，但我的人生也花了很長的時間在學數學。Ramanujan 是個不世出的天才，我不可能體會他的心路歷程。但是，劇情裡面他所經歷到的困難、阻礙、突破、喜悅，有信仰的他與無神論數學家Hardy之間的爭論與情誼，還有Hardy最後在三一學院 Fellows 面前為他做的辯護與Hardy最後談到的數學研究本質，都讓我心有戚戚焉。特別是，自從轉行做歷史之後，我已經很久沒有想起當年研究數學時經歷過的的（一點點）狂喜與（很多）痛苦。看這部電影的時候，又讓我想起那些經驗。我真的覺得，每個有認真學過數學的人，看這部電影都會很感動！

那把傘是雨傘，不是陽傘。這把傘引出了無神論者Hardy（左）與虔敬者Ramanujan（右）之間的精彩對白。

成均館與成均館大學

今天早上到成均館大學大東文化研究院與尊經閣看古書。

成均館大學號稱有六百年歷史，可媲美建立於中世紀的歐洲大學。這樣計算的原因，當然是因為他們把朝鮮王朝太祖在1398年建立的國家教育機構「成均館」的歷史也計算進去。當年的建築物還有一部份經過修復，在校園中可以讓遊客參觀。

今天我主要去的建築物就是他們的「六百週年紀念館」。一進去裡面還有過去六百年來的校長列表，其中包含南秉吉的兄長南秉哲 (1817-1863)。南秉哲也是朝鮮末期的天文學者，他在1846-1847年任成均館大司成，也就是現在說的校長啦～