《古蘭經》中的數學遺產

今天的誠品日曆介紹的是哈濟生的《伊斯蘭文明》這本書，不過，這讓我想到伊斯蘭文明的重要根源《古蘭經》裡面，因為有提到遺產分配的法則，所以後續引發出一些數學問題，剛好可以放部落格分享。

《古蘭經》第四章婦女章裡面，有數節提到遺產分配的問題。列舉如下：

4:7 男子可獲父母和近戚們遺下的分額。女子可蕕父母和近戚們遺下的分額，無論多少——規定的分額。

4:8 有親屬關係者、孤兒、貧人，臨分到場的時候，你們要贈給他們一些；並對他們說好話。

4:11 安拉為你們的子女囑咐你們！一男獲若二女的分額。她們若是兩個以上的女子了，則獲他遺下的三分之二。若是僅她一人了，則獲半數。他的父母各獲他遺下的六分之一，如果他有子嗣的時候。他若無有子嗣，他的父母繼承他著，他母親獲得三分之一。如果他有弟兄，他母親獲得六分之一。這在用牠作遺囑或還付欠債以後。你們的父和子，你們不知哪是在利益上最近於你們的——由安拉規定的。安拉實是深知的，明哲的。

4:12 你們獲得妻室所遺的半數，若是她們無有子嗣的時候。如果她們有子嗣了，你們就獲得她們所遺的四分之一，在她們用牠作遺囑或還欠以後。她們獲得你們所遺的四分之一，若是你們無有子嗣的時候。如果你們有子嗣了，她們就獲得你們所遺的八分之一；在你們用牠作遺囑或還欠以後。如果被繼承的男子或女子，是一個上無父母，下無兒女的，在他有一弟（兄）或一姊（妹）他倆各獲所遺的六分之一。如果他們是多過這個的，他們就於三分之一上共同。這在用牠作遺囑或還欠以後，不得有妨害。安拉的囑告。安拉是深知的、仁厚的。

大家一定看得眼花撩亂。根據普遍接受的解釋，取重點來說：
(1) 財產遺可以贈予陌生人，但遺贈所得原則上不超過全部遺產的1/3為原則。
(2) 在扣除陌生人所得的遺產後，若死者留下未亡人與子女，則配偶可得遺產1/4，剩餘的3/4由兒子和女兒以2比1的比例分配。
(3) 當遇到兒子向父親借貸的情形，在分配上，這個兒子最差的情況就是拿不到遺產，即是以所得遺產與借貸的錢數抵銷，並不需向其他繼承人償還不足的金額。

這些原則就可以引出許多問題，被中世紀的數學家當成例題放在他們的著作中。比如在阿爾•花拉子模 (Al-Khowarizmi) 的著作中，有下面的問題：

一位婦女過世，留下丈夫、兒子和三個女兒，計算每一位繼承人各能分得的資產部分。

解答：丈夫取得 1/4，其餘 3/4 由兒子與三女以 2:1:1:1 來分配。子女的部分既然要分5部份 (2+1+1+1)，而父親取1/4，4與5的公倍數是20，所以丈夫得5/20，兒子取6/20，每個女兒分得3/20。

這題計算並不困難，大家也可以用簡單的代數做計算。另一個比較有趣的問題如下：

有一人過世，身後留下二子，並且要把資本的1/3遺贈給一位陌生人。而他共留下了10金幣以及對於其中一子10金幣的要求（即其中有一子欠父親10金幣）。

這題用現代數學來看有幾種不同的解法，各有巧妙不同。其中一種解法是這樣想。正常來說，兩個兒子與陌生人可以各得父親遺產的1/3，但是其中一子對父親的債務佔父親資產的一半，所以他的債務必然多於應得遺產。但是根據 (3)，他只需要還出能與他所得遺產抵銷的金額即可，不用再多還給其他繼承父親債權的人。所以，我們假設欠錢的兒子要還 x 金幣，所以父親能夠分配的遺產是 (10 + x) 金幣，每個人得到1/3，所以欠錢的兒子也得到這麼多，兩相抵銷。因此得到方程式 

(10 + x) * 1/3 = x

解方程式得 x = 5。

我第一次看到這個解法的時候也覺得很神奇，但這個問題的解釋方法不只一種。各位讀者可以自己想想看，順便體會伊斯蘭文明的風貌。

參考資料：蘇意雯 (2008) ，［可蘭經裡的遺產－代數學］，《當數學遇見文化》（臺北：三民書局）。

邏輯學者寫出毫無邏輯的作品？

2016年8月23日的誠品日曆，向讀者介紹《愛麗絲夢遊仙境》這本書。這本書大概是少數全世界家喻戶曉的英國兒童文學作品，或者，用現代的分類來說，也可以看成「奇幻文學」。可是你知道嗎？這本書的作者Lewis Carroll（原名Charles Lutwidge Dodgson, 1832-1898），其實是職業數學家與邏輯學者！

Charles L. Dodgson 早年在拉格比公學（Rugby School，也就是「橄欖球」[Rugby football] 的發源地）學習，後來進入牛津大學基督堂學院（Christ Church, Oxford）就讀，畢業後生涯的大部分時間，他都在母校基督堂學院擔任數學講師，並在任職期間寫出《愛麗絲夢遊仙境》。Dodgson 的數學研究觸及幾何、線性代數與數理邏輯等等。根據維基百科的介紹，Dodgson 的符號邏輯研究在1990年代還被幾位數學家引用做出新的成果。我自己當然是不太懂數理邏輯，不過我曾無意間在臺灣師大的圖書館讀到一本 Dodgson 寫的小書：《歐幾里德與他的現代對手》（Euclid and His Modern Rivals）。這本書中比較了歐幾里德《幾何原本》跟19世紀時其他許多套幾何教材，而且是用對話錄的形式寫出。Dodgson 基本的論點就是，19世紀所有的幾何教科書，不是比歐幾里德差，不然就是跟歐幾里德的教材有相同的功能。事實上，英國的中學到20世紀中葉，仍然使用歐幾里德作為幾何教材。多年前我到劍橋訪問研究，有幸跟科學史大師 G.E.R. Lloyd 聊過兩、三次。他曾問我臺灣的中學還用歐幾里德教幾何嗎？因為他讀中學的時候（就是二戰前後）還是用歐幾里德學幾何。臺灣的中學教材從來都不是用歐幾里德教幾何，二十世紀時大部分的國家也都不再直接用《幾何原本》當中學數學或大學通識教材，但是我竟然能夠親眼見到一位還活著的人是用歐幾里德學中學幾何，也是一種感動。

誠品日曆的作者，在評論《愛麗絲夢遊仙境》時，認為這本書接近孩童所認知的真實，因為它「毫無邏輯」！如果我們回想這本書的內容，誠品日曆的評論也不無道理。但是想到作者其實也是一位邏輯學者，這則評論就顯得十分有趣。或許，Dodgson 對數理邏輯的理解與研究，恰恰幫助他寫出看似沒有邏輯，卻又真實呈現孩童內在想像的一本暢銷書吧！

天才無限家

看電影的時候其實頗激動。本來是為了看劍橋風景而去的，但收穫更多。

第一、編劇應該是要把 Ramanujan 跟牛頓類比，但三一學院那棵樹不是果實敲到牛頓的蘋果樹。

第二、發行商可能是要讓電影更親近觀眾，所以把很多對白的中文翻譯都修飾過。比如說，關於數學的內容，讀數學的人可能會覺得翻譯稍微不到位。還有，譯者刻意地把「劍橋大學」與劍橋大學的「三一學院」模糊化。其實所有的事情都發生在三一學院，但是譯者都說成大學。美式英文常把這個字看成同義詞，但「大學」(university) 與「學院」(college) 在劍橋的意義是差別很大的。不過，這樣模糊的翻譯或許反而讓觀眾更能融入劇情。

第三、劇情真的有感動我。雖然我不是數學家，但我的人生也花了很長的時間在學數學。Ramanujan 是個不世出的天才，我不可能體會他的心路歷程。但是，劇情裡面他所經歷到的困難、阻礙、突破、喜悅，有信仰的他與無神論數學家Hardy之間的爭論與情誼，還有Hardy最後在三一學院 Fellows 面前為他做的辯護與Hardy最後談到的數學研究本質，都讓我心有戚戚焉。特別是，自從轉行做歷史之後，我已經很久沒有想起當年研究數學時經歷過的的（一點點）狂喜與（很多）痛苦。看這部電影的時候，又讓我想起那些經驗。我真的覺得，每個有認真學過數學的人，看這部電影都會很感動！

那把傘是雨傘，不是陽傘。這把傘引出了無神論者Hardy（左）與虔敬者Ramanujan（右）之間的精彩對白。

成均館與成均館大學

今天早上到成均館大學大東文化研究院與尊經閣看古書。

成均館大學號稱有六百年歷史，可媲美建立於中世紀的歐洲大學。這樣計算的原因，當然是因為他們把朝鮮王朝太祖在1398年建立的國家教育機構「成均館」的歷史也計算進去。當年的建築物還有一部份經過修復，在校園中可以讓遊客參觀。

今天我主要去的建築物就是他們的「六百週年紀念館」。一進去裡面還有過去六百年來的校長列表，其中包含南秉吉的兄長南秉哲 (1817-1863)。南秉哲也是朝鮮末期的天文學者，他在1846-1847年任成均館大司成，也就是現在說的校長啦～

金正喜藏微波榭叢書

今天與成均館大學姜珉廷研究員及首爾大學博士生金슬기同學一起到首爾大學中央圖書館古文獻閱覽室找資料。

這次來看的是金正喜 (1786-1856) 的藏書。金正喜字元春，號秋史、阮堂，是朝鮮後期的經學家、書法家、金石家。上面那些學問我當然都不懂，我來看的是他收藏的算學與天文書籍。我研究的算學家南秉吉曾經為中國算學經典《九章算術》寫一本十九世紀的近代註解（真的是近代，因為有用到西洋數學的概念）。但是，我們不完全確定他看的是那個九章的版本。過去我參與過的臺灣與中國方面的研究，從數學內容比對，認為他看的是戴震親家孔繼涵刻的「微波榭本」。姜珉廷在博士論文研究時找到金正喜收藏的「微波榭本」。因為南秉吉的母舅與學問上的老師金逌根 (1785～1840，當然也是安東金氏)，以及南秉吉的兄長南秉哲，都與金正喜有書信往來，而南秉吉在金正喜死後，還協助編輯金正喜的書法集與文集。從南氏家族與金正喜的關係來推測，這次找到金正喜所藏「微波榭本」《九章算術》，應該是確認南秉吉根據「微波榭本」註解《九章算術》的有力證據。

這次有看到「微波榭叢書」與「戴氏遺書」。每一卷的首頁都有「秋史珍藏」的印章，最後都有「阮堂」的印章。叢書中還有很多紙條與夾頁，是由兩個不同筆跡的人所寫的數學註解，但是姜珉廷博士比對過南秉吉的書法，這兩位都不是南秉吉。

來首爾得到許多韓國學者的幫助，真是萬分感謝。

留守南公秉吉清德善政碑

我博士論文的主角南秉吉 (1820-1869)，是朝鮮王朝後期代表性的天文學家與算學家。南秉吉本貫宜寧南氏，為朝鮮開國功臣之後，而母親的家族更是顯赫，他的外祖父其實就是安東金氏之首金祖淳。安東金氏作為朝鮮國王的外戚，是十九世紀初葉至中葉朝鮮最有權力的家族。如果大家看朝鮮末期的韓劇，通常都會把安東金氏刻劃為大反派。

南秉吉在1863-1865年間任水原留守。水原各地有許多的「頌德碑」，用來紀念在水原文武官員的政績，目前這些頌德碑都集中在水原博物館。南秉吉的清德善政碑豎立於1865年。南秉吉在水原期間，哲宗早逝，高宗即位。此時高宗的父親興宣大院君掌政，很努力地要排除安東金氏的外戚勢力。在這樣的氛圍下，南秉吉還能在高宗二年轉任漢城府判尹，次年回到中央任禮曹判書，可見他在政治上也是有兩把刷子。南秉吉出仕後歷任三品以上中央與地方官員（三品以上就是可以在大殿直接與國王討論政事的等級），但是他終其一生沒有放棄對天文與算學的熱愛，到死前兩年還出版百科全書式的著作《算學正義》。來到這裡看到紀念他的石碑，也讓我跟我研究的古人有更多的連結。

李仙得墓

看墳墓好像已經變成我出國的定番。李仙得 (Charles Le Gendre, 1830-1899) 是法裔美國人，曾任美國駐廈門總領事。1867年「羅妹號事件」時，在美國「福爾摩沙遠征」失敗後，親身入台與排灣族談判，並在1869年代表美國與排灣族簽訂正式的條約。他是「番地無主論」的提倡者，在日本1874年出兵牡丹社之前，做為日本顧問。1890-1899年之間，他則在朝鮮作為高宗的個人顧問，死後葬於漢江旁的「楊花津外國人傳教士墓園」。

李仙得的一生，正好映證在大航海時代，臺灣也是清、日、美等大國競逐的場域。同時，他也是從十九世紀末起，臺灣與韓國百多年來千絲萬縷連結的其中一段故事。

數學是量化研究還是質性研究?

想一個無聊的問題：當你是別人的判斷標準時，這個標準能不能用來判斷自己？

前兩天聽到一個故事。南部某大學一位做倫理學的A老師，說他有一次開會遇到同校醫學系的某大老B教授，B教授說話很婉轉，但是他說他常常無法理解A老師這樣做「質性研究」的人在做什麼。A老師說，他其實從來沒有把自己看成做「質性研究」的人。「質性研究」的反面應該是「量化研究」，而這兩個詞我個人感覺常用於形容社會科學（法律、政治、經濟、社會、教育）。社會科學的各分支的確有量化與質性的不同研究典範，雖然有時候不能用這樣的簡單二分法來區分。自然科學 (物理學、化學、生物學...) 與人文學科 (文學、歷史、哲學...) 很少會用質性或量化來形容。醫學研究在很多領域中因為會大量用到生物統計學，所以醫學研究裡面很多也是「量化研究」。我聽到這個故事時，我心裡其實想到的是，B大老的世界似乎把研究就二分為「質性」與「量化」，那他的標準什麼呢？我猜不是數學就是統計學。有用到數學或統計的就是「量化」，沒有用到的就是「質性」。所以醫學是「量化研究」，倫理學是「質性研究」。

所以問題來了。如果B大老的世界真的是這樣的二分法，那數學或統計學算「質性」還是「量化」？顯然B大老應該會認為都是量化研究。我數學雖然讀得不怎麼樣，好歹也跟數學很好的人混了二十年，但是從來沒有聽人用「量化研究」來形容數學。事實上，數學裡有很多領域，比如抽象代數或拓樸學，感覺起來很不「量化」，但這只是我的感覺而已。我只是想問，如果有用到數學是「量化研究」的標準，那數學算量化研究嗎？B大老心裡的標準應該不是「數學全體」，而可能是用到某些數學方法。我可以想像的是，他心中那些用以判準的數學方法如果被抓出來，我們應該可以找到數學某個分支是用不到那些數學方法（好啦！讓我作弊一下，高中以下的數學不算，不然加減乘除到處都用到，那所有人都量化了。B大老的標準一定是某些高等數學或統計方法）。所以，B大老會認為某些數學分支是質性研究，某些是量化研究嗎？

我又想到小時候聽過的一個例子。以前有個趙樹海主持的綜藝節目，其中一個遊戲的玩法是，主持人手上拿著答案，參賽者看不到。參賽者可以問主持人任何Yes/No的問題，主持人必須誠實回答，然後參賽者必須在時間內猜出那個東西是什麼。某次參賽者問那個東西是否在室內，主持人說這個問題他無法回答。為什麼呢？因為答案是「房子」。在房子裡面或外面就是判斷室內還是戶外的標準，但是「房子」本身算是存在於室內還是戶外呢？

如果你問我，數學是不是量化研究，我也會說，這個問題好像不太恰當，我無法回答。