數學史上的張衡

剛剛看到友人的臉書，想起今天是紀念韓國獨立運動的「三一節」。不過誠品日曆寫的是張衡。我是不太知道，張衡測到地震的日子從東漢太初曆換算成現代陽曆是不是三月一日，不過他的名字讓我想起算學典籍中的張衡。

張衡是二世紀的天文學家。在東亞古代，天文學者通常也是算學知識的保存者與創造者。東漢的張衡當然也懂算學，我們從小就聽過候風地動儀，但對張衡的數學成就一無所知。三世紀的劉徽在注解《九章算術》時曾引用過「張衡算」，但不知實際出處為何。就像亞里斯多德引用前蘇格拉底哲學家時一樣，是從批評的角度出發，劉徽引張衡其實是要批他一頓。那一段是關於球體積公式與圓周率的論證。圓周率對所有古文明來說是無法迴避的麻煩，《聖經》的〔列王記上〕與〔歷代志下〕都有提到所羅門聖殿中的「銅海」為「徑十肘，圍三十肘」。東亞古代也有「周三徑一」的估計。

根據《九章算術》劉徽注的說法，張衡巧妙地加入一些近似值去討論球與其內接外切正方體體積，並且劉徽暗示張衡可能已經知道「兩球體積之比等於與其外切正方體體積之比」這樣的洞見。不過最後張衡得到的圓周率是「十之面」，也就是根號10，約為3.16。這個二世紀的近似值看在三世紀劉徽的眼中已經太過不準確，劉徽引張衡完全就是要襯托自己的對圓周率估計的正確。我個人覺得，張衡那段話的有趣之處在於他如何定出計算過程中的近似值使計算變得容易，還有他討論球與外切正方體的關係。