那種歐幾里德告訴我們的完美

28是個完美的數字，因為它等於其自身以外所有正因數1、2、4、7與14之和。

歐幾里德《幾何原本》卷九命題三十六是這樣寫的：「如果從單位開始，連續不斷地加倍，直到各項之和為質數，並將此總和與最後一項相乘，則此乘積為完美數。」所謂「完美數」（perfect number, τέλειος ἀριθμός），在《幾何原本》卷七定義22有寫到，「完美數即等於自身部分之和的數」，用現代語言說明，就是如果有一個數剛好等於自身之外所有正因數之和，這個數就是「完美」。比如說，6除了自身之外的正因數有1、2、3，而且6=1+2+3，所以6就是一個完美數。歐幾里德《幾何原本》卷七至卷九討論的是整數的理論包含因數、倍數、質數、合數、數列與級數等等的理論。他在第七卷定義完美數之後，在這三卷的最後一個命題，也就是上述卷九命題三十六，證明了一個關於完美數的漂亮結果，作為總結這三卷數論的最高潮。下面我們用兩個例子來說明這個命題的意義。

首先，我們從1開始，加倍到2，此時數列有1、2兩項，且1+2=3為質數，那麼3乘上剛剛最後一項的2得到6，那麼6就是個完美數，前一段已經驗證。

接著看下一例。我們一樣從1開始，加倍到2，再加倍到4，此時數列有1、2、4三項，且1+2+4=7剛好也是質數，則7乘上數列最後一項4得到28，那麼28也是完美數。我們可以驗證看看。28除自身之外的所有正因數有1、2、4、7與14，且1+2+4+7+14=28，所以28是完美數！

歐幾里德在兩千三百年前證明了上面的命題，而在十八世紀，大數學家歐拉證明了這個命題的逆命題，也就是如果一個偶數是完美數，則這個數必然可以從歐幾里德的造法而得。讀者如果想要知道它們的證明，可以參考這裡。

完美數的尋找並不容易，因這牽涉到大質數的判定。人類所知的前五個完美數為6、28、496、8128、33550336。第十個完美數等於2^88(2^89 - 1)。所有偶完美數的問題理論上已經解決，然而是否存在奇完美數，仍是數論上的開放問題，還有待數學家去挑戰。

以色列驚艷世界！？聊聊世界棒球經典賽 (World Baseball Classic) 選手徵召規則

第四屆世界棒球經典賽於2017年三月盛大開幕。初次參賽的以色列代表隊，在開幕戰以2:1打敗韓國，次日又以15:7大勝臺灣。很多人問為什麼以色列這匹黑馬這麼強悍，其實這是得利於經典賽的選手徵召規則。

根據世界棒球經典賽的規則書，可受世界棒壘球聯盟（WBSC）成員國徵召代表比賽的球員國籍規定十分寬鬆，除了該國公民之外，具有該國居留權，或者在該國出生的球員都可接受徵召。這還不打緊，規則還開放只要球員父母其中一人為該國公民或者能提出在該國出生的證明，該名球員即可接受該國徵召。這些規則其實是為了要增加經典賽的可看性，因為在棒球的世界，幾個強國與大多數弱國實力相差懸殊，不若足球界，有數十個實力接近的國家，可以造就全世界最盛大的單項體育賽事 - 世界杯足球賽。讓部分美國選手幫其他國家效力，有助整體比賽精彩程度。

這次以色列的代表隊，被戲稱為美國隊，因為該隊大多數球員其實都是美國人，只是因為父母其中一人為以色列裔，即可接受徵召。這次以色列的代表隊，陣中有多名具有大聯盟資歷的選手，加上小聯盟現役選手的等級也頗高，實力頗為堅強，打敗韓國與臺灣，絕非僥倖。

以色列在國防與外交政策上，與美國保守派政治勢力關係緊密。在棒球比賽場上，以色列也靠美國撐腰，筆者看起來亦為一種黑色幽默。歐、非兩洲與以色列到北美的移民，發展十分多元，但是亞洲移民到北美大多希望後代讀好書或做生意，鮮少鼓勵小孩朝體育界發展。因此經典賽的這項美意，對於臺灣、韓國、日本這幾個亞洲國家完全沒有幫助，臺灣代表隊都是正港的臺灣人。未來東亞國家是否要合力讓這個限制變得較為嚴格，就要看我們能否互相合作。當然，要跟外國合作，首先臺灣的體育界先要進行改革，棒協的問題，還有棒協與職棒聯盟之間的不愉快，都是迫切需要解決的難題。最重要的是，技不如人不能只怪規則，而應該調整臺灣棒球的體質，增強自己的實力。

三重縣四日市神明神社算額

日本各地有許多神社或寺廟收藏了江戶時代算學家奉納的算額，上面有很多有趣的算題。所謂算額，就是江戶時代的算學家奉獻給神社或寺廟，發表算學研究成果的匾額。也有人認為是算學塾的廣告。2016年三月，我到三重縣四日市市參與國際會議，順道到四日市市川島町內看當地的算額。下圖是寺廟內的文化財告示牌。

根據這個告示牌，神社內有三面算額，最古老的是1790年奉納，內容有三題，第一題是武田濟美所著《闡微算法》（1750）中的題目。武田濟美是入江脩敬（1699-1773）的弟子，而入江脩敬則是和算最大流派關流弟子中根元圭（1662-1733）的門人。入江脩敬也曾被著名的和算大名久留米藩主有馬賴徸招聘為儒臣。下圖是1790年奉納的算額，上面的字跡已經不清楚。

上圖算額的摹寫如下圖。可以看到，第二、三題是菱形與句股形內接數個圓的問題。這兩題都需要重複使用畢氏定理解題。

第二面算額是1844年奉納，問題是正方形內切若干個不同大小的圓，已知最大圓與最小圓徑，求圓個數。下面兩張照片是算額與其摹寫。

第三面算額是1863年奉納，問題是若干個圓互相內外切，已知其中某些圓的直徑，求所有圓的個數。

上面這些算額都是當地人奉納的算額，算額原件不公開展示，但摹寫都掛在門廊。如果大家有機會到這個觀光客不太造訪的小城市，不妨也可以到這間神社觀賞算額。

參考資料

和算の館

入江脩敬 

城地茂 (2014)，《和算の再発見: 東洋で生まれたもう一つの数学》，（京都：化学同人）。

臺灣大聯盟與歷史上的二二八

1997年2月28日，臺灣的第二個職業棒球聯盟 - 臺灣大聯盟 - 正式開打。第一場比賽是臺北太陽對嘉南勇士。當年我大四，開打時坐在電視機前面，很興奮地看著一個新聯盟的誕生，不過首局首打席打擊出去後，鷹俠就接球失誤，害我大失所望。畢業服兵役前後，我還有進場支持。不過，由於臺灣職棒市場的萎縮與臺灣大聯盟經營方式的問題，他們在2002年解散，次年併入中華職棒。

臺灣大聯盟吉祥物

（圖片來源：臺灣棒球維基館）

上面的那件事情就是我對歷史上的二二八最深刻的記憶。連續假期中想到這件事情，讓我好生慚愧。當年臺灣大聯盟的開幕戰，剛好也是二月二十八日第一次因為「和平紀念日」而放假，但是我對二二八事件的理解，其實很表面。上週開學，跟學生說明本學期教學進度時，提到二月二十八日放假一天，不是讓大家出去玩，而是該利用這一天去學習臺灣歷史，但其實我對二二八知道的不會比我的學生在中學課本讀過的，或是小犬在漫畫裡面看到的多到哪裡去。所以，我決定也利用這個連假，好好地讀一點臺灣史。下面這本書就是我的假期功課：陳翠蓮（2017）《重構二二八：戰後美中體制、中國統治模式與臺灣》（新北市：衛城出版）。

希望讀完這本（對我這個外行來說）稍微有點硬的國際關係與政治史專書之後，我會對二二八有更深刻的認識。

NHK大河劇《炎立つ》(1993) 觀後感

過年期間，本來是要讀高橋克彥的小說《炎立つ》，後來就索性把1993年的改編大河劇拿起來看，昨天算是看完。

奧州藤原氏全盛時期的勢力範圍，包含綠色的奧州（陸奧國）與藍色的羽州（出羽國）

11-12世紀支配日本東北的奧州藤原氏政權，創造了燦爛的平泉文化。不過，在奧州藤原氏在發展的過程中，不斷有親人反目以及與仇敵合作的事情，所以要以他們為主角，作家與編劇需要拗很凶才能表現出正面的形象，真是辛苦了。二十多年前第一次看的NHK大河劇是《獨眼龍政宗》，主演同為渡邊謙，故事的主要舞台也在日本東北的奧州，但當時對日本歷史完全沒有概念，只會跟著劇情看。這次看《炎立つ》，就順便讀了一些11-12世紀日本「邊境」的歷史。未來若有機會到日本東北，如果去仙台，就要附近的國府多賀城遺跡看看，如果到岩手縣，那自然界要去拜訪藤原氏的首都平泉啦～

NHK大河劇《炎立つ》劇照
（圖片來源：NHK - 大河ドラマホームページ）

PS：《炎立つ》是NHK大河劇中時代背景第二早的，而最早的是1976年播出，描述10世紀平將門的《風と雲と虹と》。看膩戰國故事的我，有機會也要找來看看...

櫻桃小丸子跟大空翼的家在關東還是關西？

陪伴臺灣六、七年級生長大的兩套漫畫/動畫，《櫻桃小丸子》與《足球小將翼》，其中的主角小丸子與大空翼都來自日本的靜岡縣。靜岡縣在東京與大阪之間，有新幹線經過。我們通常把東京與其週邊地帶稱為「關東」，而京都、大阪附近稱為「關西」，所以筆者二十幾年前學日文的時候，就很好奇這個「關東」與「關西」的界線在哪裡。還有，小丸子與大空翼到底算關東人還是關西人呢？

櫻桃小丸子全家福

大空翼與隊友合影

在日本歷史上，「關東」這個詞彙最早是指「愛發關」、「不破關」、「鈴鹿關」這三關之東。這三個關所的建立，是672年「壬申之亂」後，天武天皇為了護衛國家的核心地帶，就在673年建立了這三個關所，而這三個關所以東，就逐漸被稱為「關東」或「東國」。

古代關所位置（圖片來源：日本國土交通省網站）

十二世紀末，來自東國的武士源賴朝建立了獨立於京都皇朝的東國王權，稱為「鐮倉幕府」，後來幕府更進一步控制全日本大部分地區，使得日本有東（鐮倉）西（京都）兩個政治中心。此時從鐮倉幕府的視點，京都周圍的近畿地區，以及本州西部、四國與九州，就是「關西」。

鐮倉幕府建立者源賴朝

到了近代，「關東」與「關西」這兩個詞彙指涉的區域漸漸改變，現在日本的關東地方，只包含東京都與其周圍六縣。

關東地方

然而，「關西」這個名詞一直都只是日常生活口語的說法，但不是正式的稱呼。口語上說的「關西」，正式的稱呼是「近畿地方」。雖然日本的首都在19世紀就已遷到東京，「近畿」仍被指稱古代日本首都附近的區域。現在的近畿地方，包含京都、大阪兩府以及周圍五縣。

近畿地方

回到前面的問題，靜岡縣到底屬於「關東」還是「關西」呢？如果小丸子和大空翼活在古老的飛鳥、奈良時代，那他們就會被都城視為「關東人士」。不過，他們都是現代人，而現代的靜岡縣，不屬於「關東」或是「關西」，而是屬於東西之間的「東海地方」。動畫與漫畫裡面，有許多語言、文化與歷史的元素。臺灣有很多人致力推廣中國的文化與臺灣本土文化，而動畫與漫畫絕對是我們可以推廣歷史文化的良好載體！

NHK大河劇《真田丸》(2016) 觀後感

到一月底才有空把描述戰國最後的英雄真田信繁一生的2016年大河劇《真田丸》看完。

其實玩《信長的野望》時我也嘗試用過真田家，但是要殺出重圍十分困難。真田家足以自立之時，德川家已經太過壯大。以北信濃小縣加上西上野的鄉下地方，要對抗德川家廣袤富庶的東海道領地，在經濟上就有先天的缺陷。歷史上的真田信繁，即使能夠殺入家康的本陣，即使能夠贏得數場戰役，但是贏不了戰爭。經濟力是戰爭的最基本條件。真田信繁雖然被後人譽為「日本第一兵」，但只能成為後人傳頌的悲劇英雄。

PS：日本歷史上另一位有名的悲劇英雄，13-14世紀南北朝時代的楠木正成。不知道何時可以被拍成大河劇...

我的國小社會與白江口之戰

圖一：白村江之戰時期倭國的備戰形勢與出兵路線。（圖片來源：佐藤信、五味文彥、高埜利彦、鳥海靖（2008），《詳説日本史研究》（東京：山川出版社），頁57。）

最近幾年讀古代東北亞的歷史，隱約想起國小社會課學過的東西，一直想寫篇部落格文章來紀念。今天我終於生出時間到國家教育研究院臺北院區（也就是過去大名鼎鼎的「國立編譯館」）內的教科書圖書館，把我國小的社會課本找出來，拍照存證，順便來聊聊歷史。

圖二：國立編譯館國小社會課本第九冊

上圖是我讀過的國小課本第九冊，五、六年級生大概會有印象。這個版本的國小社會，其實已經包含許多與臺灣有關的資訊，並不如許多人誤會地說到史地只談中國。臺灣的部分主要在中年級談。第九冊進到高年級，重點就轉移到中國。下圖是第九冊的目錄。

圖三：國立編譯館國小社會課本第九冊目錄

從目錄可以看出，第九冊的重點是中國的地理、歷史與文化。除去第一章地理的部分，後面三章是用主題的方式談中國的歷史文化。這樣的編排也沒有什麼不好，主題式學習對於社會科來說是應該算常見的教學方式。

不過，在我的記憶中，我對國小社會的學習是很混亂的。我五、六年級的老師很愛說中國有「五千年歷史」，怎麼學都學不完。他這麼說也沒什麼大問題。但是用主題式編排的社會課本，讓我完全搞不清楚中國史「五千年」中不同朝代的時間順序與地理位置，所以我讀起來，所有的歷史人物與事件都是混在一起的。我沒有要批評這種主題式的編排，混在一起是我自己的問題。我對中國歷史，要到國中才稍微有比較結構性的概念。關於我的國小社會課本，我想批評的是另一件事。

這個版本的國小社會第九冊第二章第四節叫做「海外唐山」，可想而知是要討論中國文化與華人在海外的影響。這裡不談本節內容的民族主義筆法，我想說的是下面這一頁。

圖四：國立編譯館國小社會課本第九冊內頁

這一頁提到的是唐帝國對於日本的影響。從21世紀的角度來看，這一頁可能有不少值得商榷的地方。但是對於當年的一個小學生來說，我就記住了白江口之戰是「歷史上中日之間的第一次大戰」，然後這件事情在我的腦海裡變成一個奇異點。原因是，當我完全搞不清楚朝代的年代與順序，搞不清楚東（漢）南（宋）西（周）北（魏），搞不清楚孔子是有多偉大的時候，我卻很清楚地記住了，除了八年抗戰之外，中國跟日本還打過白江口之戰。這件事情就這樣留在我的腦海中，變成一個奇妙的存在，即使後來對中國歷史有比較結構性的瞭解，這個奇異點沒有消失，也沒有被同化到我的歷史「基模」中（借用皮亞傑的說法）。我一直不知道我為什麼在國小要學白江口之戰，即使後來我對歷史產生濃厚的興趣，甚至想將之變成我的職業，我還是不理解。

聊一下我長大之後理解的白江口之戰好了。當代歷史學家普遍接受的看法，如果我沒有弄錯的話，大概是這樣。公元六至七世紀，在韓半島上的高句麗、百濟與新羅三個王國，互相爭奪半島的霸權，而半島的北邊有突厥、西邊先後有隋、唐帝國，東邊的列島上的倭國，後來改名「日本」。這些國家在發展與擴張的過程中，難免產生衝突，一點都不奇怪。在第七世紀，唐帝國很自然地認為它是老大，四夷都要臣服。新羅與唐帝國的關係相對來說比較親密，而高句麗、百濟對於倭國則相對友善。當時韓半島上的三個王國，不聽老大唐帝國的話互相爭戰，而且，隋、唐兩大帝國過去數次與高句麗大戰也都佔不到便宜。655年，高句麗與百濟聯合侵攻新羅，新羅向唐求援，於是唐帝國出兵，要再次設法讓不聽話的兩國臣服（這種小老弟不聽話大哥就要出兵展現肌肉的作法，好像到21世紀還是存在）。這次的效果竟然出奇地好，唐帝國在660年就把百濟給滅亡了！百濟數個世紀以來都與列島上的倭國交好。百濟滅亡之後，百濟遺臣向倭國以及滯留於倭國的百濟王子求援，而當時國力不算強的倭國，竟然傾全國之力要來幫助長年的友邦百濟。文章前面的圖一是當時倭國的備戰形勢與出兵路線。

倭國雖然全力襄助百濟，但是這場戰爭最後的結果，就是在663年，倭國、百濟聯合軍於白村江大敗於唐、新羅聯合軍。倭國元氣大傷，百濟也無法復國。戰後倭國產生了很大的危機感，從上圖可以看出，倭國在百濟移民的協助下，於北九州與瀨戶內海設置了許多防衛設施，以防備唐軍來襲。

長大之後的我，大概理解了白江口之戰的歷史背景與經過。回到國小的奇異點，這段歷史放在國小社會第九冊要做什麼？我本來只記得「歷史上中日之間第一次大戰」這句話，今天去國教院找到課本，看到上面那一頁，一堆問題，我真的驚呆了！把高句麗稱為「高麗」，是中文世界歷史書寫自古以來的一種做法，是非曲直暫且不表。可是，在「海外唐山」這一節先講中日大戰再說中國文化大量輸入「日本」，那是要表示倭國戰前「不知感恩」還是戰後「心悅誠服」呢？更誇張的是，這一頁竟然寫日本「侵犯高麗」，侵略高句麗的是唐帝國吧！？史觀是一回事，違背史學界公認的事實就太誇張了。古代國家互相侵攻征伐，從現代的角度來看不一定能說誰是誰非，高句麗與百濟被新羅與唐帝國滅亡，也是歷史發展的過程，我並沒有要做價值判斷。但是，人真的不是倭國殺的，不能冤枉他們。即使以20世紀冷戰時代的觀點來說，這一頁的歷史書寫絕對是不及格的。

罵完之後，回到我成長過程中的奇異點。到底社會課本寫這件事要幹什麼？我唯一能想到的答案，大概就是培養我們的「愛國情操」！如果這真的是那一頁背後的理念，那麼這個理念應該沒有成功。假使硬要幫它找優點，那只好說它在我心中種下一個問題的種子，讓我長大有好好讀歷史的慾望吧！