清水寺，遇見北天之雄阿弖流為與母禮。

坂上田村麻呂（758 - 811）在平定東國蝦夷之後，回到京都於798年大幅改建清水寺，以感謝毘沙門天與地蔵菩薩庇佑。在清水寺同時也紀念蝦夷人的兩位領袖，十分有趣。阿弖流為（?-802）讓侵略的日本帝國軍隊吃過很多苦頭，雖然最後還是失敗，但在後人的心目中，他是十足的英雄人物。弱小民族要生存，不能讓強大帝國為所欲為。日本東北地方一直會出現不屬於帝國中央的獨立政權，除了東北地區族群希望保持自主性，當然維持夠強的軍事與經濟實力也是很重要的原因。

數學，也會牽涉到價值的選擇～

幾個月前看到下面這段影片，馬上按了愛心。幾個月之後再看到下面的留言，真的很有趣。很多人說這個解釋連大人都不懂了，小孩怎麼會懂？Well, 這個問題有兩個答案。第一，這段影片本來就是給大人，特別是「李家同們」看的。如果大人看不懂，會不會是這個大人本來就不懂為什麼1/2+1/3=5/6？這件事一點不奇怪，我就曾經是這樣的大人。我在大學畢業以前，都不太懂分數四則運算的原理（不要以為讀數學系的人數學真的比較好喔）。一直要到我去當老師，為了教學，我才真正理解為什麼「除以一個分數等於乘以它的倒數」。能夠執行一項任務本來不表示你懂這項任務後面的原理，不然你要不要看看會開車的人有幾成懂得汽車運作的原理？第二個答案是，就算大人不懂，並不表示小孩不懂。人類心理運作的機制很複雜，心理學家跟有經驗的老師可能有方法判斷小孩懂不懂，但是一般人不見得可以用直覺判斷。影片中的方法不一定適用於每個小孩，但是當這個過程被會帶討論的教師轉化為實際的教學之後，小孩懂不懂可以問小孩看看。最後，很多人會質疑，花那麼多時間討論，課怎麼上得完？我完全同意課有可能上不完，但這件事情就是價值的選擇。大人們可以想一想，以前你的老師們很認真地上完了課，你懂了多少？十九世紀工業革命之後出現的國民教育，要訓練的是能聽從命令執行任務的工人，他們不需要知道機械背後的原理，只需要會基本的讀寫算。但是二十一世紀不管士農工商，需要的能力都遠比十九世紀工人需要的能力複雜百倍。你是要小孩學會很多不明就裡只會執行的技巧，還是希望小孩學比較少的知識，但是他真的懂，可以用來解決問題呢？

李家同長期關心偏鄉教育，這樣的服務熱忱是我們的楷模。但是如果他只會用他被教育的方法面對偏鄉的小孩，我不知道他的熱心會不會只是階級複製過程的一部份？

NHK大河劇《風と雲と虹と》(1976) 觀後感

《風と雲と虹と》(1976) 是目前被完整保存下來最早的大河劇，跟我的年紀差不多，之在此前的十三部NHK大河劇都只有片段被保存，殊為可惜。這部大河劇的時代背景是十世紀，律令制度崩壞，少數的武士階級開始嶄露頭角的平安時代中期。主線劇情是對於京都貴族社會腐敗失望，為了庶民而反抗權威，在坂東（即今日的関東）建立獨立王國的平将門（加藤剛飾演），以及在西海（瀬戸内海）呼應的藤原純友（緒形拳飾演）兩者的理想為中心的歷史劇集。劇中還出現如傀儡師、遊女、海賊與農民等庶民階級的生活。

NHK大河劇《風と雲と虹と》劇照，右方為加藤剛飾演之平將門，左方為真野響子飾演之將門正室良子。

（圖片來源：NHK - 大河ドラマホームページ）

這部劇集，我的唯一的感想是，好看！四十年前的大河劇，沒有華麗的布景與電腦動畫，完全以劇情及演員的演技吸引人，對於純粹想要欣賞劇情與演技的朋友，應該是很值得一看。我看的感覺有點像是看半世紀前的科幻影集 Star Trek，純粹看劇情來思考。大河劇思考歷史，科幻片思考哲學與科學。劇中有許多實力派演員。除了兩位主角之外，還有美貌與演技兼具的吉永小百合～

NHK大河劇《風と雲と虹と》劇照，圖中為吉永小百合飾演之落魄皇族貴子。

平將門（903-940）是出身坂東的豪族，在939年起兵叛亂並建立獨立王國，自稱「新皇」。平將門之亂的原因眾說紛紜，大體與爭奪領地，及陰錯陽差的各種巧合以致於被拱出來反抗腐敗的律令政府有關。平將門征服坂東八國之後，僅三個月就在戰鬥時中箭身亡，整個獨立政權也土崩瓦解。但這只是歷史上關東武士嘗試掌握日本權力的開始。關東肥沃的土地以及相對距離日本政治中心的遙遠距離，讓後來八、九個世紀在此地不斷出現武士的政權，甚至掌握全日本的政治權力。

NHK大河劇《風と雲と虹と》劇照，出征中的平將門。

平將門是否真的為庶民揭竿而起，很難有定論。我也沒有要為平將門翻案，但是至少在東日本民眾的心目中，平將門似乎的確是英雄人物。關東各地有許多跟平將門有關的傳說。

平將門畫像（圖片來源：維基百科）

平將門堂兄平貞盛的五世孫，就是把日本從貴族時代帶到武士時代的平清盛（1118-1181）。以平清盛為主角的2012年大河劇，創下NHK大河有紀錄以來的最低收視率，但這就是後話了。

NHK大河劇《翔ぶが如く》(1990) 觀後感

看完其實百感交集。

我算是第一次認真看幕末到維新的故事。2008年的《篤姫》在創造收視率上是大成功，但是對於像我這樣對幕末維新過程不熟的人，看不太到重要的歷史。2010年的《龍馬伝》，有幕末但沒有到維新，所以這次算是跟著某個特定的視角把幕末與明治前期的重要過程看一遍。

《翔ぶが如く》（宛如飛翔）講的是幕末出身薩摩（今日鹿兒島縣）的西鄉隆盛（1828-77）與大久保利通（1830-78）的友誼與衝突，還有他們所見證與推動的幕末維新過程。他們兩人與出身長州（今日山口縣）的木戶孝允（1833-77）並稱維新三傑，是倒幕與維新的重要推手。

NHK大河劇《翔ぶが如く》劇照，左方為西田敏行飾演之西鄉隆盛，右方為鹿賀丈史飾演之大久保利通。

（圖片來源：NHK - 大河ドラマホームページ）

我雖然有很多感想，但是很雜亂，所以就隨便提幾點好了。首先，看完之後我可以理解，為什麼幕末的大河劇那麼受歡迎，因為我可以感覺到，日本這個國家，經過幕末與維新的過程，從一個其實本來底子就頗厚實的古老國家迅速轉型成為一個現代國家。不過，到了維新的部分，就會看到日本逐漸往帝國主義的傾向發展， 還包含「征韓論」的興起與牡丹社事件，從我這個亞洲人的角度就沒有那麼...好看了。

再者，日本的大眾歷史敘事中，天皇都是遠在天邊擺著好看的。從幕末到維新，日本社會、政治、文化那麼劇烈轉變的過程中，即使倒幕維新號稱「王政復古」，劇情中天皇可以完全不用出現，只需要偶爾被提及，就可以交代幕末維新的重要轉變。我當然不是覺得明治天皇在維新中沒有功能，或者後來的戰爭天皇都沒有責任。我只是說，當日本人敘述歷史故事的時候，可以完全把天皇晾在旁邊也不會很奇怪。我很難想像，如果我們要訴說同樣時代清國與朝鮮面對國際挑戰而現代化的過程，清國皇帝與朝鮮國王怎麼可能沒有一點戲份？

最後，就是NHK大河劇中常見的反戰思想。最後幾集講到維新之後的士族反抗與西南戰爭，劇情提到木戶孝允在死前特別交代大久保利通，在西南戰爭中，無論軍人有多大功績，都不能讓他們介入政治。

而在戰爭的場景中，也有女性出來對政府控訴戰爭的殘酷。

大河劇的反戰思想，當然是來自日本對於二十世紀戰爭的反省。歷史不能重來，也不適合做太多假設。我只是在想，如果日本在維新之後沒有走向軍國主義，我們現在會活在一個如何的世界？

日本最早的戰國大名是...?

日本歷史從1467年發生的應仁之亂開始，進入「戰國時代」。我對日本歷史不能算很熟悉，但是因為電玩的緣故，也對日本戰國史有點興趣。最近讀呉座勇一的暢銷書《応仁の乱》，裡面提到很多有趣的東西。因為主題是開啟戰國序幕的大亂，所以也會聊到最早的「戰國大名」。

所謂「戰國大名」，是指在日本戰國時代，對於其領國有一元化的統治，不受朝廷與幕府影響的地域權力者。呉座勇一的書裡面提到，某些學者認為（呉座勇一也同意），最早的戰國大名是畠山義就（1437?-91）。什麼？不是北条早雲嗎？

畠山義就（圖片來源：《続英雄百人一首》）

掀起戰國大亂的應仁之亂，起因很複雜，主要是因為將軍家本身的繼承問題，加上將軍介入斯波家與畠山家的內紛所引起，有力大名分為東西兩軍在京都及其周圍地區對抗，但我大概沒有能力用短短的篇幅交代清楚。關於畠山家內紛，主要是畠山義就與畠山政長堂兄弟之間爭奪畠山的家督之位。應仁之亂的東西兩軍1477年在形式上和解，但是畠山義就不服，從京都退出後，進入河內國（今日大阪府的東部），而且迅速地平定河內一國。應仁之亂爆發之時，他一開始就是獨自對抗幕府大軍，後來也是用自己的軍事才幹擴張領土，在應仁之亂結束後建立自己的「河內王國」，成為幕府無法管轄的區域，因此被認為是最初的戰國大名。

那我們常聽到的北条早雲呢？

北条早雲（圖片來源：維基百科）

北条早雲（?-1519）被稱為最初的戰國大名，一般認為是因為他體現了戰國時代「下剋上」精神。與出身守護大名家的畠山義就不同，早雲從一介浪人成為伊豆、相模兩國的大名，建立北条家在關東的霸權。不過也有學者認為，北条早雲出身自幕府政所執事的伊勢家，而且他平定伊豆、相模兩國時的身份算是今川家的家臣，不是浪人也沒有推翻他的主君。早雲攻入伊豆取得自主領國是在1493年，比畠山義就平定河內晚了16年，所以也不太能算最早的戰國大名啦～

當然，從歷史研究的角度，誰是「最早」的戰國大名沒有太大意義，重點是應仁之亂後，將軍權威下降，日本社會與政治進入了新型態的發展模式。之前打電玩的時候，認識的都是戰國後期的武將。現在讀關於應仁之亂的歷史，讓我知道一些戰國初期的故事，也開了我很多眼界。

那種歐幾里德告訴我們的完美

28是個完美的數字，因為它等於其自身以外所有正因數1、2、4、7與14之和。

歐幾里德《幾何原本》卷九命題三十六是這樣寫的：「如果從單位開始，連續不斷地加倍，直到各項之和為質數，並將此總和與最後一項相乘，則此乘積為完美數。」所謂「完美數」（perfect number, τέλειος ἀριθμός），在《幾何原本》卷七定義22有寫到，「完美數即等於自身部分之和的數」，用現代語言說明，就是如果有一個數剛好等於自身之外所有正因數之和，這個數就是「完美」。比如說，6除了自身之外的正因數有1、2、3，而且6=1+2+3，所以6就是一個完美數。歐幾里德《幾何原本》卷七至卷九討論的是整數的理論包含因數、倍數、質數、合數、數列與級數等等的理論。他在第七卷定義完美數之後，在這三卷的最後一個命題，也就是上述卷九命題三十六，證明了一個關於完美數的漂亮結果，作為總結這三卷數論的最高潮。下面我們用兩個例子來說明這個命題的意義。

首先，我們從1開始，加倍到2，此時數列有1、2兩項，且1+2=3為質數，那麼3乘上剛剛最後一項的2得到6，那麼6就是個完美數，前一段已經驗證。

接著看下一例。我們一樣從1開始，加倍到2，再加倍到4，此時數列有1、2、4三項，且1+2+4=7剛好也是質數，則7乘上數列最後一項4得到28，那麼28也是完美數。我們可以驗證看看。28除自身之外的所有正因數有1、2、4、7與14，且1+2+4+7+14=28，所以28是完美數！

歐幾里德在兩千三百年前證明了上面的命題，而在十八世紀，大數學家歐拉證明了這個命題的逆命題，也就是如果一個偶數是完美數，則這個數必然可以從歐幾里德的造法而得。讀者如果想要知道它們的證明，可以參考這裡。

完美數的尋找並不容易，因這牽涉到大質數的判定。人類所知的前五個完美數為6、28、496、8128、33550336。第十個完美數等於2^88(2^89 - 1)。所有偶完美數的問題理論上已經解決，然而是否存在奇完美數，仍是數論上的開放問題，還有待數學家去挑戰。

以色列驚艷世界！？聊聊世界棒球經典賽 (World Baseball Classic) 選手徵召規則

第四屆世界棒球經典賽於2017年三月盛大開幕。初次參賽的以色列代表隊，在開幕戰以2:1打敗韓國，次日又以15:7大勝臺灣。很多人問為什麼以色列這匹黑馬這麼強悍，其實這是得利於經典賽的選手徵召規則。

根據世界棒球經典賽的規則書，可受世界棒壘球聯盟（WBSC）成員國徵召代表比賽的球員國籍規定十分寬鬆，除了該國公民之外，具有該國居留權，或者在該國出生的球員都可接受徵召。這還不打緊，規則還開放只要球員父母其中一人為該國公民或者能提出在該國出生的證明，該名球員即可接受該國徵召。這些規則其實是為了要增加經典賽的可看性，因為在棒球的世界，幾個強國與大多數弱國實力相差懸殊，不若足球界，有數十個實力接近的國家，可以造就全世界最盛大的單項體育賽事 - 世界杯足球賽。讓部分美國選手幫其他國家效力，有助整體比賽精彩程度。

這次以色列的代表隊，被戲稱為美國隊，因為該隊大多數球員其實都是美國人，只是因為父母其中一人為以色列裔，即可接受徵召。這次以色列的代表隊，陣中有多名具有大聯盟資歷的選手，加上小聯盟現役選手的等級也頗高，實力頗為堅強，打敗韓國與臺灣，絕非僥倖。

以色列在國防與外交政策上，與美國保守派政治勢力關係緊密。在棒球比賽場上，以色列也靠美國撐腰，筆者看起來亦為一種黑色幽默。歐、非兩洲與以色列到北美的移民，發展十分多元，但是亞洲移民到北美大多希望後代讀好書或做生意，鮮少鼓勵小孩朝體育界發展。因此經典賽的這項美意，對於臺灣、韓國、日本這幾個亞洲國家完全沒有幫助，臺灣代表隊都是正港的臺灣人。未來東亞國家是否要合力讓這個限制變得較為嚴格，就要看我們能否互相合作。當然，要跟外國合作，首先臺灣的體育界先要進行改革，棒協的問題，還有棒協與職棒聯盟之間的不愉快，都是迫切需要解決的難題。最重要的是，技不如人不能只怪規則，而應該調整臺灣棒球的體質，增強自己的實力。

三重縣四日市神明神社算額

日本各地有許多神社或寺廟收藏了江戶時代算學家奉納的算額，上面有很多有趣的算題。所謂算額，就是江戶時代的算學家奉獻給神社或寺廟，發表算學研究成果的匾額。也有人認為是算學塾的廣告。2016年三月，我到三重縣四日市市參與國際會議，順道到四日市市川島町內看當地的算額。下圖是寺廟內的文化財告示牌。

根據這個告示牌，神社內有三面算額，最古老的是1790年奉納，內容有三題，第一題是武田濟美所著《闡微算法》（1750）中的題目。武田濟美是入江脩敬（1699-1773）的弟子，而入江脩敬則是和算最大流派關流弟子中根元圭（1662-1733）的門人。入江脩敬也曾被著名的和算大名久留米藩主有馬賴徸招聘為儒臣。下圖是1790年奉納的算額，上面的字跡已經不清楚。

上圖算額的摹寫如下圖。可以看到，第二、三題是菱形與句股形內接數個圓的問題。這兩題都需要重複使用畢氏定理解題。

第二面算額是1844年奉納，問題是正方形內切若干個不同大小的圓，已知最大圓與最小圓徑，求圓個數。下面兩張照片是算額與其摹寫。

第三面算額是1863年奉納，問題是若干個圓互相內外切，已知其中某些圓的直徑，求所有圓的個數。

上面這些算額都是當地人奉納的算額，算額原件不公開展示，但摹寫都掛在門廊。如果大家有機會到這個觀光客不太造訪的小城市，不妨也可以到這間神社觀賞算額。

參考資料

和算の館

入江脩敬 

城地茂 (2014)，《和算の再発見: 東洋で生まれたもう一つの数学》，（京都：化学同人）。