木曜算額日第一季総集編

從2019年4月4日至6月20日，我的粉絲專頁「東北亞  遇見數學」中「木曜算額日」單元第一季介紹了全日本11處有收藏算額的神社或寺院，並選擇性地解析算題。從東京鬧區大社、千年古都知名景點，一路走到關東、東海、東北、北陸、中國與四國鄉下不起眼的神社看算額，希望可以提升大家旅遊的興致與學習數學的趣味。為了讓搜尋方便，我把第一季総集編也放部落格。下面是這11處景點與其收藏的算額，大家可以一次欣賞個夠！

第一彈：東京都渋谷区金王八幡宮算額（首列左一，位於《天地明察》電影中男女主角相遇之地）
https://bit.ly/2HtXrTU
第二彈：京都市北野天滿宮算額（首列左二，日本現存第二古老算額）
https://yingswords.blogspot.com/2019/04/blog-post.html…
第三彈：愛知縣岡崎市六所神社算額（首列右一，版主去拜託神社拿出來才看到）
https://www.facebook.com/KoreaJapanMathHistory/posts/504872430044315
第四彈：栃木縣足利市鑁阿寺算額（第二列左方，位於本季唯一介紹的佛寺）
https://www.facebook.com/…/a.468710586993…/508378726360352/…
第五彈：栃木縣佐野市星宮神社算額（第二列右方，日本現存最古算額）
https://www.facebook.com/…/a.468710586993…/512031225995102/…
第六彈：山形縣山形市湯殿山神社算額（第四列左方，會田安明百年祭奉納）
https://www.facebook.com/…/a.468710586993…/515572172307674/…
第七彈：岡山縣瀨戶內市片山日子神社算額（第三列右方，附有木雕藝術算額）
https://www.facebook.com/…/a.468710586993…/519471685251056/…
第八彈：三重縣四日市市神明神社算額（第三列左方，地點很鄉下）
https://www.facebook.com/…/a.468710586993…/523308228200735/…
第九彈：愛媛縣大洲市金刀比羅神社算額（首列右二，遺題算額）
https://www.facebook.com/…/a.468710586993…/527223404475884/…
第十彈：福井縣鯖江市石部神社算額（第四列右方，地點超級鄉下）
https://www.facebook.com/…/a.468710586993…/531888570676034/…
最終回：岡山縣岡山市惣爪八幡宮算額（圖中央，數學社團活動圖）
https://www.facebook.com/…/a.468710586993…/539935136538044/…

旅行，也可以很歷史，很數學～

北野天滿宮收藏之古今算額

位於京都市上京區的北野天滿宮，是日本的賞梅名所，每年二至三月都有許多觀光客到這裡來看梅花。北野天滿宮建立於947年，供奉的是學問之神菅原道真公，所以也會吸引世界各地許多考生來參拜。

圖一：北野天滿宮楽の間（圖片來源：https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8C%97%E9%87%8E%E5%A4%A9%E6%BA%80%E5%AE%AE#/media/File:Kitano-tenmangu_Kyoto_Japan48s5s3900.jpg）

北野天滿宮內有許多日本國寶，包含建築物在內，比如上圖一的楽の間。除了國寶之外，這裡也收藏三面算額。從北野天滿宮正面鳥居進入，穿過樓門之後，往左手邊走就會看到絵馬堂，裡面收藏有三面古今算額。有一面很古老，一片很現代。三面中最古老的是下圖二的算額，1686年由今西小右衛門重之與飯田武助正成奉納，是日本現存第二古老的算額，也是以完整狀態存在的最古算額。

圖二：北野天滿宮江戶時代算額，1686年奉納。（圖片來源：www.wasan.jp）

讀者可以看到，這面算額其實是被重複畫上其他的圖案，而後來覆蓋的圖案剝落之後，我們才發現下面有數學問題，這個很像是10世紀的阿基米德羊皮書，被13世紀的僧侶擦去文字後寫上宗教文書，後來被20世紀與21世紀的學者以各種現代科技重新看到阿基米德的著作。

圖三：北野天滿宮明治時代算額（筆者攝影）

第二面算額是明治時期由新名重内、三室戸治光、倉橋泰清等11位奉納，上面的文字還很清楚。筆者2016年9月1日造訪北野天滿宮時，在繪馬堂就剛好有和算愛好者，看到我們一行人在尋找算額，就主動過來跟我們分享上面的算額。下圖四就是算額上的問題內容。

圖四：北野天滿宮明治時期算額內容（筆者攝影）

北野天滿宮除了有超級古老的算額，也有超級新的算額喔！下圖五是2018年11月，由 Rosalie Hosking 等四位紐西蘭學者奉納於北野天滿宮的算額。

圖五：北野天滿宮現代算額（圖片來源：www.wasan.jp）

這是第一次有日本以外的學者在日本奉納算額。奉納過程的影片可以看這裡：

紐西蘭學者 Rosalie Hosking 奉納算額儀式

這片算額內容全部都有和英對照，讀者可以從這裡看到英文的問題與解答。

北野天滿宮有悠久的歷史，賞心悅目的梅花與古老建築，也有現代的算額。在京都的名所之中，算是即有特點的景點之一。造訪京都的朋友請不要錯過！

日本中世算學的發展與家族世襲化

8世紀的唐帝國與東北亞的新羅與日本，都建立了律令制度下的官方算學教育制度。8 世紀時日本頻繁派出遣唐使向唐帝國輸入文化。時間進入9世紀，838年之後就再也沒有派出遣唐使，但持續靠著新羅與佛教僧侶的交流瞭解東亞大陸的文化與情報。10世紀初，維持三個世紀榮華的唐帝國崩潰，東亞大陸進入群雄競逐的五代十國時代，本來以唐帝國為學習對象的東北亞與東南亞諸國，這時開始逐漸發展自身的本土文化，例如日本也開始寫作獨特的日本漢詩。

10-11世紀的日本屬於「攝關政治期」，藤原家擔任令外官「攝政」或「關白」，掌握最大權力，奈良時代建立的中央集權律令制度逐漸崩壞，而且日本朝廷對於國際的文化交流變得消極。不過即使在這樣的景況中，日本也並未完全斷絕與東亞大陸國家的交往。事實上，位於現今浙江、江蘇東南和福建東北，存在於10世紀的吳越國，曾主動贈與日本天皇與大臣禮物，並且向日本與高麗尋求佛教經典。在此交往的同時，唐代的另一套曆法《符天曆》，也被傳入日本，與當時日本使用的《宣明曆》可互為對照。

攝關政治期的代表建物：平等院（作者攝於2016年11月12日）

10-11世紀的日本歷史，從古代進入中世。11世紀日本朝廷進入「院政」時代，國家權力從藤原家的攝政、關白轉到退位的太上天皇或者出家的法皇。而隨著律令制度的崩壞，原本以科舉考試選才的政治與技術官僚，也逐漸變成由特定氏族傳承特定職位，也就是形成了與職業連結，有特定「家格」的「家」。最有名的技術官僚家系，當然就是在流行文化中常出現的陰陽道安倍氏。在算道方面，11世紀的小槻氏與三善氏則世襲算學官僚的位置。日本平安時代之後，某些家族將知識變成秘傳家學，使家族得以獨佔特定技術官僚的情形，跟後來韓半島朝鮮王朝的情形很像。

鐮倉大佛
（圖片來源：https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Kamakura_Budda_Daibutsu_front_1885.jpg）

日本進入中世的另一個社會轉變就是武家的興起。在12-13世紀之交，武家源平爭霸的年代，原本在京都獨佔算道的氏族之一，下級貴族三善氏，族中有一位三善康信，因為其母親是源賴朝乳母之妹，所以在源賴朝年輕被流放到伊豆的時候就有聯絡。源賴朝起兵對抗平家之後，三善康信就被邀請到鐮倉輔佐政務，後來擔任源賴朝鐮倉政權的首任問注所執事，負責訴訟、裁判事務。源賴朝死後，三善康信還擔任十三人合議制的其中一位御家人重臣。

像算學這樣的技術被家學化、秘傳化的結果，使得中世日本的算學發展，比起半島上的高麗王朝更為隱晦不明。日本中世經過源平爭霸、鐮倉時代、室町時代與戰國時代，16世紀末邁入近世之後，算學的發展才露出曙光，留下些許紀錄，並且持續跟異文化進行科技交流，後來也才有獨特的「和算」文化出現，不過這是後話啦。

室町時代建立的慈照寺銀閣（作者攝於2017年9月19日）

參考書目
五味文彥（2016），《中世社会のはじまり》（東京：岩波書店）。
古瀨奈津子（2011），《摂関政治》（東京：岩波書店）。
城地茂（2014），《和算の再発見 ：東洋で生まれたもう一つの数学》（京都：化學同人）。

岡山縣瀨戶內市片山日子神社算額

從岡山縣瀨戶內市JR長船駅往東南方走約1公里處，有一座片山日子神社。這座神社中也收藏一幅有趣的算額。

日本和算中獨特的「算額奉納」傳統，使得許多神社至今都收藏算額。我們在介紹和算文化時，常常對提到幾幅有名的算額，比如日本現存最古老，在栃木県佐野市星宮神社的算額，或者是在電影《天地明察》中出現的東京金王八幡宮，也收藏了算額。這些都是在東日本收藏的算額。至於在西日本當然也有不少算額，本篇介紹的片山日子神社算額就是常常被提到西日本算額之一。

岡山縣瀨戶內市片山日子神社算額

（圖片來源：https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Katayamahiko_jinja_10.jpg）

如上圖，這幅算額是在明治時代的1873年，由萬春廷社中的入江信順門人與其門人奉納，總共有16個問題，每題並附上色彩鮮豔的幾何圖形，而它的額緣雕刻也有藝術價值，是井上幽雪斎、鶴峰父子製作，長182公分，寬180公分。

片山日子神社算額上面的16個問題，已經被很多現代學者與中學教師解讀，下面我們舉其中一題說明。請看算額中下排右邊數來第三題。這個問題的原文是這麼寫的：

今有如圖方內隔斜容甲乙円各二個只云甲円徑一寸問乙円徑幾何

答云  乙円徑五分八厘五毛

術曰  置二個開平方以減二個余乘甲円徑得乙円徑合問

這個問題若以現代語言說明是這樣的。正方形裡面有兩個大圓與兩個小圓，其與隔線及正方形四邊相切的關係如下圖。已知大圓半徑r，求小圓半徑t。

這是個很好的中學幾何挑戰題，筆者提供其中一個解法。簡捷來說：

這個問題在很多算額上面都出現過，算是常見的題目。桃園機場現在有直飛岡山，下次大家去岡山玩的時候，或許可以順道去片山日子神社看看算額。

參考資料：

Hosking, R. (2017). "Solving sangaku: A traditional solution to a nineteen century Japanese temple problem". Journal for History of Mathematics 30 (2), 53-69.

人類至今發現的最大質數

2018年12月7日，人類發現到目前為止最大的質數，這個數的值為2的82,589,933次方再減1，用10進位表示的話總共有24,862,048位數，也就是接近兩千五百萬位，寫在紙上要好幾千頁的A4才寫得完。這個最新發現的質數是一個梅仙質數，也就是有「2的某次方減1」這樣形式的質數。這個數雖然這麼大，但這不過是人類發現的第51個梅仙質數。

2300年前，歐幾里德就用很簡單的論述證明質數比任意指定的個數都要多。用現在的話來講，就是「質數有無限多個」。歐幾里德的論述，簡單來說是這樣。假設你認為這個世界只存在3個質數 a、b、c。考慮 d = abc + 1。d 有可能是質數或合數。如果 d 是質數，因為 d 比 a、b、c 都要大，那麼你就找到了新的質數。如果 d 是合數，那麼 d 一定會被某個質數整除，但是 d 除以 a、b、c 都餘1，所以一定存在不同於 a、b、c 的質數。無論如何，質數都比你說的3個要多。

「質數有無限多個」代表的意義是，不管你找到多大的質數，總會有下一個。不管你爬上了哪一座大山，總會有下一座更高的山等著你去攀登。無論你完成了多困難的目標，總有下一個更艱難的目標讓你挑戰。這光用想的就令人興奮。而在現代，尋找大質數變成數學家與電腦科學家無止盡的挑戰。

參考資料：
The World Has A New Largest-Known Prime Number
GIMPS Discovers Largest Known Prime Number

博士の愛した数式

本週的誠品日曆介紹小川洋子的作品《凍結的香氣》。這本書我不熟，但小川洋子的另一本小說《博士熱愛的算式》，倒是在臺灣頗負盛名，因為這是一本很「好看」的數學小說。

《博士熱愛的算式》日文原版

數年前洪萬生老師送我這本小說，我就馬上拿來讀了。數學小說有很多種類型，包含歷史故事、懸疑推理、浪漫愛情等等。但這本小說很特別，我覺得很難把它放到任何一個類別裡。故事是一位因為車禍而只能維持80分鐘記憶的數學家、他的管家，以及管家的兒子三個人之間的故事，網路上有許多書評，我就不再重複這個故事。

我很喜歡這個故事的原因，是因為這個故事很...平凡。故事讀起來很溫暖，從數學到棒球與人生，許多細微的連接，幾乎靜止的時間，每天三餐、管家上班，小孩上學，回家吃飯、聊天，就是這些故事，平凡但不乏味，聊數學但不冰冷。我不知道該如何形容，總之，博士、管家與小孩，熱愛的不只是數學，更重要的是三個人之間平凡的生活與情誼。

這部小說很受歡迎，所以也拍成電影。

《博士熱愛的算式》中文版DVD

（圖片來源：https://www.books.com.tw/products/D020036865）

我其實不常讀小說，特別是純文學的小說，但小川洋子的小說，或許會是例外。誠品日曆上《凍結的香氣》放入考慮書單好了。

侘・寂

好，我真的不是很懂「侘・寂」（Wabi-Sabi）這種日本獨特的美學。事實上，我不太敢說我具有太多美學素養，特別是在充滿中華民國美學的環境下潛移默化長大的情況下。不過這幾年，跑了幾趟日本，感覺到這個國家真的不是只有守秩序跟乾淨這些優點而已。日本的建築物與名勝到處都充滿一種我說不出來的感覺。後來我讀到「侘・寂」的概念之後，漸漸覺得這就是那種我說不出來的感覺，比如欣賞銀閣寺的感覺。

銀閣寺一景

每年10-12月通常都是我相對忙碌的月份，所以看到誠品日曆這本介紹「侘・寂」概念的書，就忍不住寫一篇心得。這本書用絹布當成書皮，邊緣還脫線牽絲，嘗試從裝幀開始體現「侘・寂」。稍微查一下，這本書似乎是西方世界最早介紹這種日本獨特美學的專書之一，後來被很多人引用。講到這裡，我還是沒有說明什麼是「侘・寂」，因為我實在講不太出來。這種美學帶有一種低調、安靜、質樸，而且是有缺陷的感覺。但我這樣講當然也只是講出我感受的一部份而已，完全無法定義這種美學。

對我來說，回憶或欣賞「侘・寂」的美學，好像是忙碌的生活中的一種逃脫。下面再放一張掛川城二之丸茶室的冬日景色，繼續感受「侘・寂」。

掛川城二之丸茶室冬日景色

在譯者的故鄉若狭小濱看到《解體新書》！

從JR小濱線東小濱站出站步行十來分鐘，可以走到「若狭歴史博物館」，裡面收藏福井縣若狭地方相關文物。

福井縣小濱市若狭歷史博物館

很有趣的是，我在這裡也看到了《解體新書》！

《解體新書》

（圖片來源：https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Kaitai_shinsyo01.jpg）

館內禁止攝影，所以我用維基的圖片代替。《解體新書》（1774）是日本歷史上首度直接從西方語言整本翻譯成日文的書籍，內容是關於人體解剖學，翻譯的底本是德國醫師 Johann Adam Kulmus 所著之 Anatomische Tabellen 的荷蘭語版本。這本書的譯者有四位，其中一位是若狭國小濱藩醫杉田玄白（1733-1817）。

小濱藩醫杉田玄白

（圖片來源：https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Sugita_Genpaku.jpg）

《解體新書》翻譯的由來據說是這樣。1771年蘭方醫（也就是西醫）杉田玄白、前野良沢、中川淳庵三人在江戶小塚原刑場見習死刑犯的遺體解剖，對於解剖狀況與這本荷蘭傳來的醫書絲毫不差感到十分驚訝，於是向懂荷蘭語的前野良沢提議共同翻譯這本書。這是一項浩大的工程。前野良沢自己的荷蘭語不夠精熟，加上有許多專有名詞要詢問在長崎的通譯也十分不便，但他們還是硬著頭皮翻下去。根據玄白晚年的說法，這件翻譯工作好像是「沒有槳也沒有舵的船往大海航行而去」的感覺。這本書的翻譯當然不完美，但在三年後的1774年譯完刊行。書中某些翻譯名詞，如「神經」、「軟骨」、「動脈」等等，到今天仍被東亞國家使用。

在譯者的故鄉看到《解體新書》解體新書，別有一番感動！